Question

Найдите точку минимума функции y=x^3-9x^2+15x-24

Answer 1

Найдем производную
y ' = 3x^2 - 18x + 15

Найдем критические точки
3x^2 - 18x + 15 = 0  /:3
x^2 - 6x + 5 = 0 
D = 36 - 20 = 16
x1 = (6 + 4)/2 = 10/2 = 5;
x2 = (6 -  4)/2 = 2/2 = 1

        +                       -                   +
-------------- (1 ) ---------------( 5 ) --------------> x 

Точка минимума, где знак меняется с минуса на плюс, значит
это точка x = 5 

Answer 2

Для того чтобы найти точку минимума функции, мы должны найти значение x, при котором производная функции равна нулю. Давайте начнем с вычисления производной функции y = x^3 - 9x^2 + 15x - 24.

Производная функции y = x^3 - 9x^2 + 15x - 24: y' = 3x^2 - 18x + 15

Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю: 3x^2 - 18x + 15 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя различные методы, например, квадратное уравнение может быть решено с помощью формулы дискриминанта. Но мы также можем заметить, что данное уравнение является трехчленом и может быть факторизовано.

Давайте попробуем факторизацию: 3x^2 - 18x + 15 = 0 3(x^2 - 6x + 5) = 0 3(x - 1)(x - 5) = 0

Теперь мы можем найти значения x, которые удовлетворяют уравнению: x - 1 = 0 => x = 1 x - 5 = 0 => x = 5

Таким образом, у нас есть две точки, где производная функции равна нулю: x = 1 и x = 5.

Теперь, чтобы определить, является ли каждая из этих точек минимумом или максимумом, мы можем проанализировать вторую производную функции. Если вторая производная положительна, то это будет указывать на точку минимума, а если она отрицательна, то это будет указывать на точку максимума.

Найдем вторую производную функции y = x^3 - 9x^2 + 15x - 24: y'' = 6x - 18

Теперь подставим найденные значения x: y''(1) = 6(1) - 18 = -12 y''(5) = 6(5) - 18 = 12

Мы видим, что y''(1) < 0, а y''(5) > 0. Это означает, что точка x = 1 является точкой максимума, а точка x = 5 является точкой минимума.

Таким образом, точка минимума функции y = x^3 - 9x^2 + 15x - 24 находится в точке (5, -34).