Question

Відомо, що x1 i x2 корені рівняння x^2-9x +5 =0. Не розв'язуючи рівняння знайдіть значення виразу x1^2+x2^2​ ДАЮ 100 Б АЛЕ З ПОЯСНЕННЯМ БУДЬЛАСКА

Answer 1

Дано

$\displaystyle x^2-9x+5=0$

по т. Виетта

$\displaystyle \left \{ {{x_1+x_2=-p} \atop {x_1*x_2=q}} \right. \\\\\left \{ {{x_1+x_2=9} \atop {x_1*x_2=5}} \right. \\\\x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1*x_2=9^2-2*5=81-10=71$

Answer 2

Для знаходження значення виразу x₁² + x₂² необхідно використовувати властивості коренів квадратного рівняння без прямого розв'язування самого рівняння.

Ми знаємо, що сума коренів квадратного рівняння x² - 9x + 5 = 0 дорівнює -(-9) або 9 (за формулою суми коренів a = -b). Значить x₁ + x₂ = 9.

Також ми знаємо, що x₁ і x₂ є коренями цього рівняння, тому ми можемо скласти квадратичний тричлен, використовуючи ці корені. За формулою, сума коренів дорівнює -b/a і добуток коренів дорівнює c/a, де a, b, c - коефіцієнти квадратного тричлена.

Таким чином, ми маємо: x₁ + x₂ = 9 (з формули суми коренів) x₁ * x₂ = 5 (з формули добутку коренів)

Ми хочемо знайти значення x₁² + x₂². Для цього давайте спробуємо вивести цей вираз з наявних нам властивостей коренів.

Ми знаємо, що: (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² Та: (x₁ + x₂)² = (9)² = 81 (з формули суми коренів)

Ми також маємо: 2x₁x₂ = 2 * 5 = 10 (з формули добутку коренів)

Тепер ми можемо використати отримані значення, щоб знайти x₁² + x₂²: (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² 81 = x₁² + 2 * 5 + x₂² 81 = x₁² + 10 + x₂²

Тепер ми можемо перетворити це рівняння, щоб знайти x₁² + x₂²: x₁² + x₂² = 81 - 10 x₁² + x₂² = 71

Таким чином, значення виразу x₁² + x₂² дорівнює 71.