Question

Решите, пожалуйста, уравнение :( sin6x+√3cos6x=-2cos8x

Answer 1

$\displaystyle sin6x+\sqrt{3}cos6x=-2cos8x\bigg|:2\\\\\frac{1}{2}sin6x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos6x=-cos8x\\\\sin\frac{\pi }{6}*sin6x+cos\frac{\pi }{6}*cos6x+cos8x=0\\\\cos(6x-\frac{\pi }{6})+cos8x=0\\\\2cos(\frac{6x-\frac{\pi }{6}+8x }{2})*cos(\frac{6x-\frac{\pi }{6}-8x}{2})=0\\\\2cos(7x-\frac{\pi }{12})*cos(-x-\frac{\pi }{12})=0$

1

$\displaystyle cos(7x-\frac{\pi }{12})=0\\\\7x-\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{2}+\pi n; n\in Z\\\\7x=\frac{7\pi }{12}+\pi n; n\in Z\\\\x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{7}; n\in Z$

2

$\displaystyle cos(x+\frac{\pi }{12})=0\\\\x+\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{2}+\pi n; n\in Z\\\\x=\frac{5\pi }{12}+\pi n; n\in Z$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение.

sin(6x) + √3cos(6x) = -2cos(8x)

Для начала приведем косинусы и синусы к общему знаменателю, который равен 2:

2(sin(6x) + √3cos(6x)) = -4cos(8x)

Раскроем скобки:

2sin(6x) + 2√3cos(6x) = -4cos(8x)

Теперь применим формулы двойного угла для косинуса:

2sin(6x) + 2√3cos(6x) = -4(cos(2x)cos(6x) - sin(2x)sin(6x))

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2sin(6x) + 2√3cos(6x) = -4cos(2x)cos(6x) + 4sin(2x)sin(6x)

Вычтем общие слагаемые из обеих частей уравнения:

2sin(6x) + 2√3cos(6x) + 4cos(2x)cos(6x) - 4sin(2x)sin(6x) = 0

Теперь приведем подобные слагаемые:

2sin(6x) - 4sin(2x)sin(6x) + 2√3cos(6x) + 4cos(2x)cos(6x) = 0

Вынесем общий множитель sin(6x) и cos(6x):

2sin(6x)(1 - 2sin(2x)) + 2√3cos(6x)(1 + 2cos(2x)) = 0

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

sin(6x)(1 - 2sin(2x)) + √3cos(6x)(1 + 2cos(2x)) = 0

Таким образом, мы получили два уравнения:

1. sin(6x)(1 - 2sin(2x)) = 0
2. √3cos(6x)(1 + 2cos(2x)) = 0

Теперь решим каждое из этих уравнений отдельно:

1. sin(6x)(1 - 2sin(2x)) = 0

Первое решение: sin(6x) = 0 6x = arcsin(0) 6x = 0 + kπ (где k - целое число) x = 0 + kπ/6

Второе решение: 1 - 2sin(2x) = 0 sin(2x) = 1/2 2x = π/6 + 2kπ или 2x = 5π/6 + 2kπ (где k - целое число) x = π/12 + kπ или x = 5π/12 + kπ

2. √3cos(6x)(1