Question

Пожалуйста помогите решить. log2² x + 2 log2 x- 3 > 0​

Answer 1

Ответ:    xЄ ( 0 ; 1/8 ) U ( 2 ; + ∞ ) .

Объяснение:

    log₂² x + 2 log₂ x - 3 > 0​ ;         ОДЗ :   x > 0 ;

   введемо змінну  z = log₂ x :

       z² + 2z - 3 > 0 ;  z₁ = - 3 ;  z₂ = 1  :       zЄ (- ∞ ;- 3 ) U ( 1 ; + ∞ ) .

     Повернемося до змінної  х :

  1)  z < - 3 ;                                          2)  z > 1 ;

     { log₂ x < - 3 ,                                     {  log₂ x > 1 ,

     { x > 0 ;                                               { x > 0 ;  

{ log₂ x < log₂ 2⁻³ ,                            { log₂ x > log₂ 2 ,

{ x > 0 ;                                               { x > 0 ;

      { x < 1/8 ,                                            { x > 2 ,                  

      { x > 0 ;                                              { x > 0 ;  

             xЄ ( 0 ; 1/8 ) ;                                     xЄ ( 2 ; + ∞ ) .

  В  -  дь :    xЄ ( 0 ; 1/8 ) U ( 2 ; + ∞ ) .

 

     

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами мы можем воспользоваться свойствами логарифмов.

Сначала преобразуем левую часть неравенства, используя свойства логарифмов: log2²(x) + 2log2(x) - 3 > 0

Теперь заменим log2(x) на переменную t: t = log2(x)

Тогда наше неравенство примет вид: t² + 2t - 3 > 0

Теперь решим квадратное неравенство: (t + 3)(t - 1) > 0

Найдем корни уравнения t² + 2t - 3 = 0: t₁ = (-2 + √16)/2 = (-2 + 4)/2 = 1 t₂ = (-2 - √16)/2 = (-2 - 4)/2 = -3

Теперь построим знаки функции t² + 2t - 3 на числовой прямой: ---(-3)---(-1)---(1)---(+∞)--- - + - +

Отсюда видно, что неравенство t² + 2t - 3 > 0 выполняется при t < -3 и t > 1.

Теперь подставим обратно log2(x) вместо t: log2(x) < -3 или log2(x) > 1

Теперь решим получившиеся неравенства: 1) log2(x) < -3 2^(log2(x)) < 2^(-3) x < 2^(-3) x < 1/8

2) log2(x) > 1 2^(log2(x)) > 2^1 x > 2

Итак, решением исходного неравенства log2²(x) + 2log2(x) - 3 > 0 является: x < 1/8 или x > 2.