Question

Имеется лист бумаги. Его разрезали на 8 или на 12 частей. Каждую из частей, которую получают после разрезания листа, снова разрезают на 8 или на 12 частей или оставляют без изменения. Можно ли, продолжая такое разрезание, получить 60 частей листа?

Answer 1

Разберем, что значит разрезать лист или некую его часть на 8 частей. Это означает, что будет убрана 1 эта часть и будет добавлено 8 новых частей. Таким образом, общее число частей увеличится на 7.

Аналогично, разрезать лист или некую его часть на 12 частей означает, что общее число частей увеличится на 11.

Изначально, у нас есть 1 лист. Предполагается, что в конце концов мы получим 60 частей.

Составим уравнение:

$1+7a+11b=60$

В данном случае $a$ и $b$ - целые неотрицательные числа, соответствующие числу раз, которое мы разрезали листы на 8 и на 12 частей.

$7a+11b=59$

Попробуем найти решение.

Если $b=0$, то:

$7a=59\Rightarrow a=\dfrac{59}{7} \notin\mathbb{N}_0$

Если $b=1$, то:

$7a+11=59\Rightarrow7a=48\Rightarrow a=\dfrac{48}{7} \notin\mathbb{N}_0$

Если $b=2$, то:

$7a+22=59\Rightarrow7a=37\Rightarrow a=\dfrac{37}{7} \notin\mathbb{N}_0$

Если $b=3$, то:

$7a+33=59\Rightarrow7a=26\Rightarrow a=\dfrac{26}{7} \notin\mathbb{N}_0$

Если $b=4$, то:

$7a+44=59\Rightarrow7a=15\Rightarrow a=\dfrac{15}{7} \notin\mathbb{N}_0$

Если $b=5$, то:

$7a+55=59\Rightarrow7a=4\Rightarrow a=\dfrac{4}{7} \notin\mathbb{N}_0$

При больших значениях $b$ значение $a$ будет вовсе отрицательным. Значит, уравнение решений не имеет.

Тогда, получить 60 частей листа с помощью указанных действий нельзя.

Ответ: нет, нельзя

Answer 2

Can you obtain 60 pieces of paper by repeatedly cutting a sheet of paper into 8 or 12 pieces?

To determine if it is possible to obtain 60 pieces of paper by repeatedly cutting a sheet of paper into 8 or 12 pieces, let's analyze the problem step by step.

1. Initial cutting: The sheet of paper is cut into either 8 or 12 pieces. 2. Each resulting piece is either cut into 8 or 12 pieces or left unchanged.

To find out if it is possible to obtain 60 pieces, we need to consider the possible combinations of cuts and determine if any of them result in 60 pieces.

Let's start with the initial cutting:

- If the sheet of paper is cut into 8 pieces, we have 8 pieces. - If the sheet of paper is cut into 12 pieces, we have 12 pieces.

Now, let's consider the possible combinations of cuts for each resulting piece:

1. Cutting into 8 pieces: - Each of the 8 pieces can be cut into 8 pieces, resulting in a total of 64 pieces. - Each of the 8 pieces can be cut into 12 pieces, resulting in a total of 96 pieces.

2. Cutting into 12 pieces: - Each of the 12 pieces can be cut into 8 pieces, resulting in a total of 96 pieces. - Each of the 12 pieces can be cut into 12 pieces, resulting in a total of 144 pieces.

Based on the possible combinations, it is not possible to obtain exactly 60 pieces by repeatedly cutting a sheet of paper into 8 or 12 pieces.

Therefore, it is not possible to obtain 60 pieces of paper by continuing this cutting process.