Question

5. Докажите, что если а > 4 и b <-3, то: a) 2a-b> 11; б) 3a-4b> 24; в) 5b-a<-19; г) a) a-6b > 20; д) 12a-15b > 92; е) 6b-11a<- 60.

Answer 1

                    Дано:

                      a > 4

                     b <   -3

            Решение.

a)

1)   a > 4  (обе части умножим на 2)

   2a > 8

2)    b < -3    (обе части умножим на (-1))

     -b > 3

3) А теперь неравенства одинакового смысла можно и сложить:

          2a > 8

   +     -b > 3

     2a-b > 8+3

    2a-b > 11

б)

1)   a > 4  (обе части умножим на 3)

   3a > 12

2)    b < -3    (обе части умножим на (-4))

     -4b > 12

3)  Неравенства одинакового смысла сложим:

          3a > 12

   +     -4b > 12

       3a-4b > 12+12

         3a-4b > 24

в)

1)   a > 4  (обе части умножим на (-1))

   -a < - 4

2)    b < -3    (обе части умножим на 5)

     5b < - 15

3)  Неравенства одинакового смысла сложим:

          -a < - 4

   +     5b < -15

       5b-a < -4 - 15

          5b-a < - 19

г)

1)   a > 4  

2)    b < -3    (обе части умножим на (-6))

     -6b > 18

3) А теперь неравенства одинакового смысла можно и сложить:

          a > 4

   +     -6b > 18

        a-6b > 4+18

        a-6b > 22

По свойству транзитивности: если числа a, b и c таковы, что a>b и b>c, то a > c.

У нас     a-6b > 22    и 22 > 20  =>   a-6b > 20.

д)

1)   a > 4  (обе части умножим на 12)

    12a > 48

2)    b < -3    (обе части умножим на (-15))

       -15b > 45

3)  Неравенства одинакового смысла сложим:

          12a > 48

   +    -15b > 45

       12a-15b> 48+ 45

         12a-15b> 93

По свойству транзитивности:

если   12a-15b> 93  и    93 > 92 ,    то     12a-15b > 92.

е) 6b-11a<- 60.

1)   a > 4  (обе части умножим на (-11))

   -11a < - 44

2)    b < -3    (обе части умножим на 6)

     6b < - 18

3)  Неравенства одинакового смысла сложим:

          -11a < - 44

   +     6b < -18

       6b-11a < -44 - 18

        6b-11a < - 62

По свойству транзитивности:

если  6b-11a < - 62   и    -62 < -60 ,    то     6b-11a < - 60.

Answer 2

Для доказательства данных неравенств, мы можем использовать следующий подход:

1. Доказательство a) 2a - b > 11

Дано, что a > 4 и b < -3. Умножим неравенство a > 4 на 2 и добавим неравенство b < -3:

2a > 8 2a - b > 8 - b

Теперь нам нужно показать, что 8 - b > 11. Для этого, вычтем 8 из обеих сторон:

-b > 11 - 8 -b > 3

Изменим направление неравенства, умножив обе стороны на -1 и поменяв знак:

b < -3

Мы видим, что данное неравенство b < -3 выполняется, следовательно, исходное неравенство 2a - b > 11 тоже выполняется.

2. Доказательство б) 3a - 4b > 24

Дано, что a > 4 и b < -3. Умножим неравенство a > 4 на 3 и добавим неравенство b < -3:

3a > 12 3a - 4b > 12 - 4b

Теперь нам нужно показать, что 12 - 4b > 24. Для этого, вычтем 12 из обеих сторон:

-4b > 24 - 12 -4b > 12

Изменим направление неравенства, умножив обе стороны на -1 и поменяв знак:

4b < -12

Разделим обе стороны на 4:

b < -3

Мы видим, что данное неравенство b < -3 выполняется, следовательно, исходное неравенство 3a - 4b > 24 тоже выполняется.

3. Доказательство в) 5b - a < -19

Дано, что a > 4 и b < -3. Умножим неравенство b < -3 на 5 и добавим неравенство a > 4:

5b < -15 5b - a < -15 - a

Теперь нам нужно показать, что -15 - a < -19. Для этого, вычтем -15 из обеих сторон:

-a < -19 + 15 -a < -4

Изменим направление неравенства, умножив обе стороны на -1 и поменяв знак:

a > 4

Мы видим, что данное неравенство a > 4 выполняется, следовательно, исходное неравенство 5b - a < -19 тоже выполняется.

4. Доказательство г) a + a - 6b > 20

Дано, что a > 4 и b < -3. Умножим неравенство a > 4 на 2 и добавим неравенство b < -3:

2a > 8 2a - 6b > 8 - 6b

Теперь нам нужно показать, что 8 - 6b > 20. Для этого, вычтем 8 из обеих сторон:

-6b > 20 - 8 -6b > 12

Изменим направление неравенства, умножив обе стороны на -1 и поменяв знак:

6b < -12

Разделим обе стороны на 6:

b < -2

Мы видим, что данное неравенство b < -2 выполняется, следовательно, исходное неравенство a + a - 6b > 20 тоже выполняется.

5. Доказательство д) 12a - 15b > 92

Дано, что a > 4 и b < -3. Умножим неравенство a > 4 на 12 и добавим неравенство b < -3 умноженное на 15:

12a > 48 12a - 15b > 48 - 15b

Теперь нам нужно показать, что 48 - 15b > 92. Для этого, вычтем 48 из обеих сторон:

-15b > 92 - 48 -15b > 44

Изменим направление неравенства, умножив обе стороны на -1 и поменяв знак:

15b < -44

Разделим обе стороны на 15:

b < -44/15

Мы видим, что данное неравенство b < -44/15 выполняется, следовательно, исходное неравенство 12a - 15b > 92 тоже выполняется.

6. Доказательство е) 6b - 11a < -60

Дано, что a > 4 и b < -3. Умножим неравенство b < -3 на 6 и добавим неравенство a > 4 умноженное на 11:

6b < -18 6b - 11a < -18 - 11a

Теперь нам нужно показать, что -18 - 11a < -60. Для этого, вычтем -18 из обеих сторон:

-11a < -60 + 18 -11a < -42

Изменим направление неравенства, умножив обе стороны на -1 и поменяв знак:

11a > 42

Разделим обе стороны на 11:

a > 42/11

Мы видим, что данное неравенство a > 42/11 выполняется, следовательно, исходное неравенство 6b - 11a < -60 тоже выполняется.

Таким образом, мы доказали, что все данные неравенства выполняются при условиях a > 4 и b < -3.