Question

Найдите при каких значениях параметра альфа имеет развязку уравнения cos^2 x-(a+7)cosx+(4-a)(2a+3)=0

Answer 1

$\cos^2 x-(\alpha +7)\cos x+(4-\alpha )(2\alpha +3)=0$

Уравнение относительно косинуса - квадратное. Решим его:

$D=(\alpha +7)^2-4(4-\alpha)(2\alpha+3)=\alpha^2+14\alpha+49-4(8\alpha+12-2\alpha^2-3\alpha)=$

$=\alpha^2+14\alpha+49-32\alpha-48+8\alpha^2+12\alpha=9\alpha^2-6\alpha+1=(3\alpha -1)^2$

$\cos x=\dfrac{\alpha +7\pm(3\alpha -1)}{2}$

$\cos x_1=\dfrac{\alpha +7+(3\alpha -1)}{2} =\dfrac{\alpha +7+3\alpha -1}{2}= \dfrac{4\alpha +6}{2} =2\alpha +3$

$\cos x_2=\dfrac{\alpha +7-(3\alpha -1)}{2} =\dfrac{\alpha +7-3\alpha+1}{2}= \dfrac{8-2\alpha }{2} =4-\alpha$

Поскольку областью значений косинуса является отрезок от -1 до 1, то уравнение будет иметь корни, если хотя бы одно из выражений $2\alpha +3$ или $4-\alpha$ попадет в этот отрезок. Получим совокупность:

$\left[\begin{array}{l} -1\leqslant 2\alpha +3\leqslant1 \\ -1\leqslant4-\alpha \leqslant1\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} -1-3\leqslant 2\alpha \leqslant1-3 \\ -1-4\leqslant-\alpha \leqslant1-4\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} -4\leqslant 2\alpha \leqslant-2 \\ -5\leqslant-\alpha \leqslant-3\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} -2\leqslant \alpha \leqslant-1 \\ 3\leqslant \alpha \leqslant5\end{array}\right.$

Таким образом, при $\alpha \in [-2;\ -1]\cup [3;\ 5]$ уравнение будет иметь корни:

Ответ: $\alpha \in [-2;\ -1]\cup [3;\ 5]$

Answer 2

Для того чтобы найти значения параметра альфа, при которых уравнение развязывается, нужно рассмотреть дискриминант уравнения.

Дано уравнение: cos^2(x) - (a + 7)cos(x) + (4 - a)(2a + 3) = 0

Пусть дискриминант равен D. В этом случае, если D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня, если D = 0, уравнение имеет один действительный корень кратности 2, и если D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Дискриминант D для данного уравнения будет равен:

D = (-a - 7)^2 - 4(cos^2(x))(4 - a)(2a + 3)

Для развязки уравнения нужно найти значения параметра альфа, при которых D > 0.

Так как в данной задаче нам не дано значение угла x, мы не можем точно найти значения параметра альфа, при которых уравнение развязывается. Мы можем только выразить условия, при которых это возможно.

Условие развязки будет следующим:

(-a - 7)^2 - 4(cos^2(x))(4 - a)(2a + 3) > 0

Таким образом, вам потребуется более конкретная информация или уточнение условий задачи, чтобы найти точные значения параметра альфа, при которых уравнение развязывается.