Question

Вычислите площадь фигуры огоаниченной линиями у=4х2 и у=12х Пожалуйста помогите

Answer 1

Ответ:

искомая площадь равна 18 кв. ед.

Объяснение:

Делаем чертеж.

Из чертежа получаем фигуру и пределы интегрирования, определяем y₁(x) и  y₂(x) и используем формулу Ньютона-Лейбница

$\displaystyle S=\int\limits^a_b {\bigg(y_1(x)-y_2(x)\bigg)} \, dx$

За y₁(x) рекомендуется принимать  функцию, график которой лежит "выше" на координатной плоскости. Иначе получтся отрицательная площадь.

Для нашего случая получаем:

а = 3

b = 0

y₁(x) = 12х

y₂(x) = 4х²

Теперь считаем искомую площадь

$\displaystyle S=\int\limits^3_0{(12x-4x^2)} \, dx =12\frac{x^2}{2} \bigg|_0^3-4\frac{x^3}{3} \bigg|_0^3=54-36=18$

Вывод: искомая площадь равна 18 кв. ед.

#SPJ1

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки пересечения этих кривых и определить границы интегрирования. В данном случае, кривые заданы уравнениями y = 4x^2 и y = 12x.

1. Найдем точки пересечения кривых, приравняв их уравнения: 4x^2 = 12x

Разделим обе части уравнения на 4x: x^2 = 3x

Перепишем уравнение в виде x^2 - 3x = 0: x(x - 3) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 3.

2. Определим границы интегрирования по оси x. Очевидно, что x = 0 и x = 3 являются границами.

3. Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, интегрируя по оси x между этими границами. Для этого вычислим интеграл от верхней кривой (y = 12x) до нижней кривой (y = 4x^2):

Площадь = ∫[0, 3] (12x - 4x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [6x^2 - (4/3)x^3] от 0 до 3

Подставим границы и вычислим:

Площадь = [6(3)^2 - (4/3)(3)^3] - [6(0)^2 - (4/3)(0)^3]

Площадь = [54 - 36] - [0 - 0]

Площадь = 18

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 4x^2 и y = 12x, равна 18 единицам площади.