Question

ПОМОГИТЕ , ПОЖАЛУЙСТА!!!!Вычислить определённый интеграл выражения x [x] {x} dx ,от 1(нижний предел) до 2021(верхний предел)​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{505\cdot 2021\cdot 4043}{3}$

Объяснение:

Используя $x=[x]+\{x\}$, преобразуем условие:

$\int\limits_1^{2021} x[x]\{x\}dx=\int\limits_1^{2021} ([x]+\{x\})[x]\{x\}d([x]+\{x\})=\sum\limits_{n=1}^{2020} \int\limits_n^{n+1} x[x]\{x\}dx=(*)$

Рассмотрим некоторый из интегралов по отрезку $[n;n+1]$:

За исключением точки $n+1$, очевидно, $[x]=n$. Соответственно, выколов эту точку, получим, что

$\int\limits_n^{n+1} x[x]\{x\}dx=\int\limits_n^{n+1} (n+\{x\})n\{x\}d(n+\{x\})=\int\limits_0^{1} (n+\{x\})n\{x\}d(\{x\})=$

$=n^2\cdot\int\limits_0^{1}t \;d(t)+n\cdot \int\limits_0^{1} t^2\;d(t)=n^2\cdot \dfrac{1}{2}+n\cdot \dfrac{1}{3}$

Тогда, используя формулы суммы квадратов первых k натуральных чисел, получим

$(*)=\sum\limits_{n=1}^{2020} \left(\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2020\cdot 2021\cdot 4041}{6}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1+2020}{2}\cdot 2020=\\ =\dfrac{2020\cdot 2021}{12}\cdot (4041+2)=\dfrac{505\cdot 2021\cdot 4043}{3}$

Answer 2

Чтобы вычислить данный определённый интеграл, нужно разбить его на части, учитывая различные значения функции x.

Заметим, что [x] представляет собой наибольшее целое число, не превосходящее x, и {x} - дробную часть числа x.

Возьмём куски от 1 до 2, от 2 до 3, от 3 до 4 и так далее, до 2020 до 2021, чтобы охватить все значения x.

Рассмотрим первый кусок от 1 до 2: ∫[1,2] x [x] {x} dx

Здесь x принимает значения от 1 до 2, и функция [x] равна 1, а {x} равна x - 1. Поэтому интеграл превращается в:

∫[1,2] x dx

Интегрируем это:

∫[1,2] x dx = (1/2)x^2 |[1,2] = (1/2)(2^2 - 1^2) = (1/2)(4 - 1) = 3/2

Теперь применим этот же подход ко всем остальным кускам и сложим результаты.

Всего у нас 2020 кусков, каждый из которых будет иметь результат 3/2, поэтому итоговый результат будет:

Результат = 2020 * (3/2) = 3030