Question

3tg²x + ctg²x = 4помогите пожалуйста ​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\3tg^{2} x+Ctg^{2}x=4\\\\\\3tg^{2} x+\frac{1}{tg^{2} x} -4=0\\\\\\\frac{3tg^{4}x-4tg^{2} x+1 }{tg^{2} x} =0\\\\\\tg^{2}x=m > 0 \ , \ m\neq 0\\\\\\3m^{2} -4m+1=0\\\\D=(-4)^{2} -4\cdot 3\cdot 1=16-12=4=2^{2} \\\\\\m_{1} =\frac{4+2}{6}=1 \\\\\\m_{2} =\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3} \\\\\\1)\\\\tg^{2} x=1$

$\displaystyle\bf\\\left[\begin{array}{ccc}tgx=1\\tgx=-1\end{array}\right\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi }{4} +\pi n,n\in Z\\x=-\frac{\pi }{4} +\pi n,n\in Z\end{array}\right\\\\\\2)\\\\tg^{2} x=\frac{1}{3}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}tgx=\dfrac{1}{\sqrt{3} } \\tgx=-\dfrac{1}{\sqrt{3} }\end{array}\right\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=\dfrac{\pi }{6} +\pi n,n\in Z\\x=\dfrac{5\pi }{6} +\pi n,n\in Z\end{array}\right$

$\displaystyle\bf\\Otvet \ : \ \frac{\pi }{4} +\pi n \ ; \ -\frac{\pi }{4}+\pi n \ ; \ \frac{\pi }{6} +\pi n \ ; \ \frac{5\pi }{6} +\pi n \ , \ n\in Z$

Answer 2

Данное уравнение является тригонометрическим уравнением. Давайте попробуем решить его.

Уравнение: 3tg²x + ctg²x = 4

Для решения этого уравнения мы можем использовать тригонометрическую тождественную функцию, связывающую тангенс и котангенс:

tg²x + 1 = sec²x

Исходное уравнение можно переписать, используя это тождество:

3(sec²x - 1) + (sec²x - 1) = 4

Упрощаем уравнение:

3sec²x - 3 + sec²x - 1 = 4

4sec²x - 4 = 4

4sec²x = 8

sec²x = 2

secx = ±√2

secx равно 1/cosx, поэтому:

1/cos²x = 2

cos²x = 1/2

cosx = ±√(1/2)

Так как cosx > 0, мы можем выбрать положительное значение:

cosx = √(1/2)

cosx = 1/√2

cosx = √2/2

Теперь мы можем найти значение sinx, используя тождество sin²x + cos²x = 1:

sin²x + (√2/2)² = 1

sin²x + 2/4 = 1

sin²x = 1 - 1/2

sin²x = 1/2

sinx = ±√(1/2)

sinx = ±1/√2

sinx = ±√2/2

Итак, у нас есть две пары значений (cosx, sinx) для решения уравнения:

1. (cosx, sinx) = (√2/2, √2/2)
2. (cosx, sinx) = (√2/2, -√2/2)

Теперь, если вам требуется найти значения x, вы можете использовать функции обратного тригонометрического синуса и косинуса:

1. x = arcsin(√2/2) + 2πn, где n - целое число
2. x = arcsin(-√2/2) + 2πn, где n - целое число

Помните, что эти формулы дают все возможные значения x, удовлетворяющие уравнению.