Question

Спростіть вирази: а) 4sin*2α*cos*2α*cos 4α; б) cos 10 α/sin5α+cos5α терміново

Answer 1

Відповідь:а) 4sin^2αcos^2αcos4α

Ми можемо застосувати тригонометричні тотожності для спрощення цього виразу. Зокрема, використаємо тотожність sin2θ=2sinθcosθ для перетворення sin^2α та cos^2α:

4sin^2αcos^2αcos4α = 4(2sinαcosα/2)^2 * cos4α = 4(sin2α/2)^2 * cos4α = 4 * (1 - cos2α)/4 * (cos^2(2α) - sin^2(2α)) = (1 - cos2α) * (cos^2(2α) - sin^2(2α)) = cos^2(2α) - cos2αsin^2(2α)

б) cos10α/(sin5α + cos5α)

Тут ми можемо застосувати тригонометричні тотожності для спрощення дробу. Зокрема, використаємо тотожність sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ:

cos10α/(sin5α + cos5α) = (cos5αcos5α - sin5αsin5α)/(sin5α + cos5α) = ((cos5α)^2 - (sin5α)^2)/(sin5α + cos5α) = (cos10α)/(sin5α + cos5α)

Отже, вираз б) можна спростити до cos10α/(sin5α + cos5α).

Пояснення:

Answer 2

а) Для спрощення виразу 4sin^2α * cos^2α * cos(4α), ми можемо скористатись наступними тригонометричними ідентичностями:

sin^2θ = (1 - cos(2θ)) / 2 cos^2θ = (1 + cos(2θ)) / 2

Застосуємо ці ідентичності:

4sin^2α * cos^2α * cos(4α) = 4 * [(1 - cos(2α)) / 2] * [(1 + cos(2α)) / 2] * cos(4α) = 2 * (1 - cos(2α)) * (1 + cos(2α)) * cos(4α) = 2 * (1 - cos^2(2α)) * cos(4α) = 2 * sin^2(2α) * cos(4α)

Таким чином, вираз можна спростити до: 2sin^2(2α) * cos(4α).

б) Для спрощення виразу cos(10α) / (sin^5α + cos^5α), ми можемо скористатись формулою зведення до спільного знаменника:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Застосуємо цю формулу:

sin^5α + cos^5α = (sinα)^5 + (cosα)^5 = (sinα + cosα)((sinα)^4 - (sinα)^3(cosα) + (sinα)^2(cosα)^2 - sinα(cosα)^3 + (cosα)^4)

Таким чином, вираз можна спростити до: cos(10α) / ((sinα + cosα)((sinα)^4 - (sinα)^3(cosα) + (sinα)^2(cosα)^2 - sinα(cosα)^3 + (cosα)^4)).