Question

Вычислите интеграл -½ſ² 3^x dx ​

Answer 1

Для вычисления интеграла ∫(-1/2)^(2/3) 3^x dx будем использовать формулу интеграла степенной функции:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C

тогда

∫(-1/2)^(2/3) 3^x dx = (3^x)/(ln 3) | (-1/2)^(2/3) = (3^(2/3) - 3^(-1/2))/(ln 3) ≈ 1.507

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, мы можем использовать формулу интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям гласит:

∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае выберем u = -1/2x^2 и dv = 3^xdx. Тогда du = -x dx и v = ∫3^xdx.

Давайте начнем с вычисления ∫3^xdx. Для этого воспользуемся методом подстановки. Пусть t = 3^x, тогда dt = 3^x ln(3) dx, или dx = dt / (ln(3) t). Подставляя это значение, получаем:

∫3^xdx = ∫(t / (ln(3) t)) dt = (1 / ln(3)) ∫dt = t / ln(3) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь вернемся к формуле интегрирования по частям:

∫ -1/2x^2 3^xdx = (-1/2x^2)(t/ln(3)) - ∫(t/ln(3))(-x dx).

Второй интеграл на правой стороне можно вычислить просто, раскрыв скобки:

• ∫(t/ln(3))(-x dx) = ∫(tx/ln(3))dx = (1 / ln(3)) ∫(tx)dx = (1 / ln(3))(∫tx dx).

Мы видим, что ∫tx dx это интеграл функции x относительно x, который равен (1/2)x^2 + C, где C - постоянная.

Таким образом, итоговый интеграл будет:

(-1/2x^2)(t/ln(3)) - (1 / ln(3))(1/2)x^2 + C.

Теперь заменим обратно переменную t на исходную переменную x:

= (-1/2x^2)(3^x / ln(3)) - (1 / ln(3))(1/2)x^2 + C.

Это окончательное выражение для интеграла -½ſ² 3^x dx.