Question

Запишіть формулу для знаходження суми n перших членів геометричної прогресії 1; 2; 4; ...; 128​

Answer 1

Ответ:

Спочатку знайдемо співвідношення між довільними сусідніми членами прогресії:

2/1 = 4/2 = 8/4 = … = 128/64 = 2

Отже, різниця між будь-якими двома сусідніми членами – це завжди число 2. Тепер ми можемо записати або рекурсивну формулу, або формулу щодо n-го члена. Але наша мета – знайти суму n перших членів прогресії.

Для цього скористаємось формулою суми геометричної прогресії:

S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)

де a_1 – перший член прогресії, r – знаменник прогресії, n – кількість ітерацій (тобто скільки перших членів ми додаємо).

У нашому випадку a_1 = 1 (це перший член прогресії), r = 2 (це знаменник), n – кількість членів, яку ми хочемо додати. Оскільки прогресія скінчена, n відразу буде обмежене 7 (бо є тільки 7 членів). Тому ми можемо просто підставити ці значення в формулу:

S_n = 1 * (1 - 2^n) / (1 - 2)

Якщо ми хочемо знайти суму всіх 7 членів прогресії, потрібно підставити n = 7:

S_7 = 1 * (1 - 2^7) / (1 - 2) = 1 * (-127) / (-1) = 127

Отримали, що сума всіх 7 членів прогресії дорівнює 127.

Answer 2

Формула для знаходження суми перших n членів геометричної прогресії є:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

де: S_n - сума перших n членів прогресії, a - перший член прогресії, r - знаменник прогресії.

У даному випадку, перший член прогресії (a) дорівнює 1, а знаменник (r) дорівнює 2, оскільки кожний наступний член прогресії дорівнює попередньому члену, помноженому на 2.

Отже, підставляючи значення в формулу, отримаємо:

S_n = 1 * (1 - 2^n) / (1 - 2)

Або можна спростити:

S_n = (1 - 2^n) / (1 - 2)

Таким чином, формула для знаходження суми n перших членів даної геометричної прогресії буде:

S_n = (1 - 2^n) / (-1) = (2^n - 1) / (2 - 1) = 2^n - 1