Question

Довести, що (79^9 - 29^9) ділиться на 25

Answer 1

$\displaystyle\bf\\79^{9} -29^{9} =\\\\(79^{3} )^{3} -(29^{3} )^{3} =(79^{3} -29^{3} )\cdot(79^{6} +79^{3} \cdot 29^{3} +29^{6} )=\\\\=(79-29)\cdot(79^{2} +79\cdot 29+29^{2} )\cdot(79^{6} +79^{3} \cdot 29^{3} +29^{6} )\\\\=50\cdot (79^{2} +79\cdot 29+29^{2} )\cdot(79^{6} +79^{3} \cdot 29^{3} +29^{6} )$

Если один из множителей делится на 25 , то и всё произведение делится на 25 .

Answer 2

Щоб довести, що число (79^9 - 29^9) ділиться на 25, ми можемо скористатися властивістю ділення на 25.

Властивість ділення на 25 говорить, що число ділиться на 25, якщо його остача від ділення на 25 дорівнює нулю.

Запишемо дане число у вигляді різниці кубів:

(79^9 - 29^9) = ((79^3)^3 - (29^3)^3)

Тепер врахуємо інший властивість арифметики, а саме, що a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Застосуємо цю формулу до нашого виразу:

(79^9 - 29^9) = ((79^3)^3 - (29^3)^3) = (79^3 - 29^3)(79^6 + (79^3)(29^3) + (29^3)^2)

Тепер ми можемо побачити, що перший множник (79^3 - 29^3) представляє різницю кубів і може бути поділено на (79 - 29):

(79^3 - 29^3) = (79 - 29)(79^2 + (79)(29) + 29^2)

Отже, наше початкове число (79^9 - 29^9) може бути записано у вигляді:

(79^9 - 29^9) = (79 - 29)(79^2 + (79)(29) + 29^2)(79^6 + (79^3)(29^3) + (29^3)^2)

Тепер давайте розглянемо окремі множники:

1. (79 - 29) = 50. Очевидно, 50 ділиться на 25 без остачі.

2. (79^2 + (79)(29) + 29^2) можна спростити:

(79^2 + (79)(29) + 29^2) = 79^2 + (2)(79)(29) + 29^2 = 79^2 + (79)(58) + 29^2 = 79^2 + (4)(25)(58) + 29^2 = 79^2 + 4(25)(58) + 29^2

Очевидно, кожен з множників вище ділиться на 25 без остачі.

3. (79^6 + (79^3)(29^3) + (29^3)^2) також можна спростити:

(79^6 + (79^3)(29^3) + (29^3)^2) = (79