Question

решите уравнение а)(n+1)!\\(n-1)!=42 б) (n+1)!-n!\\(n+1)!=5\\6

Answer 1

а) (n +1)! = 1·2·3·4·...· ( n -1) ·n·(n+1)
    ( n - 1)! = 1·2·3·4·...·(n - 1)
Эта дробь сократится. Останется:n( n +1) = 42
n² + n - 42 = 0
по т. Виета
n1 = -7 ( не подходит по условию задачи)
n2 = 6
б) В числителе вынесем n! за скобки, получим n!( n + 1 -1) = n!·n
   В знаменателе стоит 1·2·3·4·...·n·(n + 1) 
После сокращения получим: n/(n + 1) = 5/6
6n = 5( n + 1)
6 n = 5n +5
n = 5

Answer 2

а) Обозначим $(n+1)!$ как $a$, а $(n-1)!$ как $b$. Тогда $ab=42$.
$42=2 \cdot 3 \cdot 7$, поэтому возможны следующие значения $a$ и $b$:
$$
\begin{cases}
a=42, b=1\\
a=14, b=3\\
a=6, b=7\\
a=3, b=14\\
a=1, b=42\\
\end{cases}
$$

Для каждой пары $(a,b)$ найдем соответствующее значение $n$:
$$
\begin{cases}
a=42, b=1 & \Rightarrow n=5\\
a=14, b=3 & \Rightarrow n=4\\
a=6, b=7 & \Rightarrow \text{нет решений в целых числах}\\
a=3, b=14 & \Rightarrow \text{нет решений в целых числах}\\
a=1, b=42 & \Rightarrow \text{нет решений в целых числах}\\
\end{cases}
$$

Ответ: $n=4$ или $n=5$.

б) Распишем $(n+1)!-n!=(n+1)\cdot n!-n!=n \cdot n!=(n-1)!\cdot n$. Уравнение преобразовалось к виду $(n-1)! \cdot n =\frac{6}{5}$.
В правой части масштабируем на $n+1$: $\frac{6}{5}=n+1$. Значит, $n=\frac{1}{5}$.
Однако $n$ должно быть целым числом. Поэтому уравнение не имеет целочисленных решений. Ответ: нет решений.