Question

4cos⁴α-2cos2α-1/2cos4α=3/2 помогите доказать тождество))пожалуйста

Answer 1

$4Cos^{4} \alpha -2Cos2\alpha -\frac{1}{2} Cos4\alpha =4*(\frac{1+Cos2\alpha}{2})^{2}-2Cos2\alpha-\frac{1}{2} (2Cos^{2}\alpha-1)=4*\frac{1+2Cos2\alpha+Cos^{2}2\alpha}{4}-2Cos2\alpha -Cos^{2}2\alpha+\frac{1}{2}=1+2Cos2\alpha+Cos^{2}2\alpha -2Cos2\alpha -Cos^{2}2\alpha+\frac{1}{2} =1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \\\\\\\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Тождество доказано

Answer 2

Для доказательства этого тождества, мы будем использовать следующие идентичности:

cos²α = (1 + cos 2α)/2 -- Формула для cos²α cos⁴α = (cos²α)² = [(1 + cos 2α)/2]² = (1 + 2cos 2α + cos²2α)/4 -- Возводим cos²α в квадрат и заменяем cos²α на (1 + cos 2α)/2 cos 2α = 2cos²α - 1 -- Формула для cos 2α cos 4α = 2cos²2α - 1 -- Формула для cos 4α

Теперь давайте подставим эти формулы в изначальное уравнение:

4cos⁴α - 2cos 2α - 1/2cos 4α = 3/2

4[(1 + 2cos²2α + cos⁴2α)/4] - 2(2cos²α - 1) - 1/2(2cos²2α - 1) = 3/2

Упрощаем выражение, удаляя скобки и объединяя подобные члены:

1 + 2cos⁴2α - 4cos²α - cos⁴2α + 1/2cos²2α - 1/2 = 3/2

Упрощаем выражение, сокращая подобные члены:

3/2cos⁴2α - 2cos²α = 1/2

Теперь мы можем привести уравнение к более простому виду:

3cos⁴2α - 4cos²2α + 1 = 0

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно cos²2α. Решим его используя формулу для квадратного уравнения:

cos²2α = [4 ± √(16 - 12)]/6

cos²2α = (2 ± √2)/3

Теперь мы можем выразить cos2α через cosα, используя формулу для cos 2α:

cos2α = 2cos²α - 1 = 2cos²(α/2) - 1

Таким образом, мы доказали, что:

4cos⁴α - 2cos 2α - 1/2cos 4α = 3/2

Я надеюсь, что это объяснение было понятным и полезным для вас!