Question

В треугольнике ABC угол C=90 градусов AC=8 cosA=корень из 7 деленное на 4. Найдите высоту CH

Answer 1

SinA=корень из (1 в квадрате - cosA в квадрате), то есть sinA=3/4, а sinA это CH/AC, тогда 4CH=24, CH=6.

Answer 2

Из угла C прямоугольного треугольника ABC следует, что гипотенуза AB является диаметром окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Таким образом, точка пересечения высот треугольника, H, лежит на гипотенузе AB.

Пусть BH=x и CH=y. Тогда, используя теорему Пифагора в треугольнике ABC, получаем:

AC^2 + BC^2 = AB^2 (8)^2 + BC^2 = (2x)^2 BC^2 = (2x)^2 - (8)^2 BC^2 = 4x^2 - 64

Также мы знаем, что:

cos A = adjacent/hypotenuse = BC/AB BC = AB cos A = (2x) cos A

Подставляя это выражение для BC в предыдущее уравнение, получаем:

(2x cos A)^2 = 4x^2 - 64 4x^2 cos^2 A = 4x^2 - 64 cos^2 A = 1 - 16/x^2 7/16 = 1 - 16/x^2 16/x^2 = 9/16 x^2 = (16*9)/7 x = 12/√7

Теперь мы можем использовать соотношение между площадью треугольника и его высотой, чтобы найти высоту CH:

S(ABC) = (1/2) * AC * BH (1/2) * (8) * (x+y) = S(ABC) (1/2) * (8) * (12/√7 + y) = S(ABC) (48/√7 + 4y) = S(ABC)

С другой стороны, мы можем выразить площадь треугольника ABC, используя гипотенузу AB и высоту CH:

S(ABC) = (1/2) * AB * CH S(ABC) = (1/2) * (2x) * y S(ABC) = xy

Из двух последних уравнений следует:

xy = 48/√7 + 4y xy - 4y = 48/√7 y(x-4) = 48/√7 y = 48/√7 / (x-4)

Таким образом, высота CH равна:

y = 48/√7 / (12/√7 - 4) y = 6

Ответ: высота CH равна 6.