Question

Найдите сумму квадратов коэффициентов в стандартном виде многочлена (x2+2x+3)⋅(x2−3x+2)(x2+2x+3)⋅(x2−3x+2). Подсказка На первом шаге необходимо воспользоваться распределительным законом умножения: a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac.

Answer 1

(x^2+2x+3)(x^2-3x+2) = x^4+2x^3+3x^2-3x^3-6x^2-9x+2x^2+4x+6 =
= x^4 - x^3 - x^2 - 5x + 6
Сумма квадратов коэффициентов
S = 1 + 1 + 1 + 25 + 36 = 64

Answer 2

Для удобства расчетов обозначим многочлен (x2+2x+3)⋅(x2−3x+2) как P(x), тогда заданный многочлен можно записать как P(x)⋅P(x).

Применяя распределительный закон умножения, раскроем скобки в P(x):

P(x) = (x2+2x+3)⋅(x2−3x+2) = x2⋅x2 + 2x⋅x2 + 3⋅x2 − 3x⋅x2 − 6x2 + 2x⋅2x − 6x + 4 = x4 − x3 − 4x2 + 4x + 6

Теперь найдем квадраты коэффициентов многочлена P(x):

Коэффициенты многочлена P(x) имеют вид: 1, -1, -4, 4, 6. Их квадраты соответственно: 1, 1, 16, 16, 36.

Суммируя квадраты коэффициентов, получим:

1 + 1 + 16 + 16 + 36 = 70

Таким образом, сумма квадратов коэффициентов в стандартном виде многочлена (x2+2x+3)⋅(x2−3x+2)(x2+2x+3)⋅(x2−3x+2) равна 70.