Question

Докажите,что при любом целом значении a значение выражения (3a-2)^2-(2a-3)^2 делится на 5

Answer 1

(3a-2)^2-(2a-3)^2 = 9a^2 - 12a + 4 - ( 4a^2 - 12a + 9 ) = 
= 9a^2 - 12a + 4 - 4a^2 + 12a - 9 = 5a^2 - 5 = 5( a^2 - 1 ) 

Answer 2

(3a-2)²-(2a-3)² = 9a² - 12a + 4 - ( 4a²- 12a + 9 ) =
= 9a² - 12a + 4 - 4a² + 12a - 9 = 5a² - 5 = 5( a² - 1 )
Отсюда следует, что при любом значении а выражение будет делится на пять, т.к. выражение умножается на пять

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Базовый случай: при a=1 значение выражения (3a-2)^2-(2a-3)^2 равно 5, что действительно делится на 5.

Предположение индукции: пусть при произвольном целом значении a выражение (3a-2)^2-(2a-3)^2 делится на 5.

Шаг индукции: рассмотрим выражение (3(a+1)-2)^2-(2(a+1)-3)^2, которое можно преобразовать следующим образом:

(3(a+1)-2)^2-(2(a+1)-3)^2 = [(3a+1)-2]^2 - [(2a+1)-3]^2 = [(3a-2)+1]^2 - [(2a-2)+1]^2 = (3a-2)^2 + 2(3a-2) + 1 - (2a-2)^2 - 2(2a-2) - 1 = (3a-2)^2 - (2a-2)^2 + 4a

Заметим, что (3a-2)^2 - (2a-2)^2 является разностью двух квадратов и может быть представлено в виде (3a-2+2a-2)(3a-2-2a+2) = 5(2a-4). Таким образом, выражение (3a-2)^2 - (2a-2)^2 + 4a может быть переписано как 5(2a-4) + 4a = 10a - 20, что также делится на 5.

Таким образом, мы доказали, что при любом целом значении a выражение (3a-2)^2-(2a-3)^2 делится на 5.