Question

Чему равно произведение всех корней уравнения x^4 - 5x^2 - 36 = 0?

Answer 1

X²=a
a²-5a-36=0
a1+a2=5 U a1*a2=-36
a1=-4⇒x²=-4 нет решения
а2=9⇒х²=9⇒х=-3 и х=3
х1*х2=-3*3=-9

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой Виета для квадратных уравнений, которая может быть обобщена на случай четвертой степени:

Для уравнения вида: ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

с корнями x1, x2, x3, x4, справедливы следующие соотношения:

x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = c/a x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = -d/a x1x2x3*x4 = e/a

В данном случае, мы имеем уравнение вида x^4 - 5x^2 - 36 = 0, которое можно переписать в виде:

x^4 = 5x^2 + 36

Таким образом, если мы заменим переменную y = x^2, то уравнение примет вид:

y^2 = 5y + 36

Решив это квадратное уравнение, мы найдем два положительных и два отрицательных корня:

y1 = 2 + 2√7, y2 = 2 - 2√7, y3 = -2 - 2√7, y4 = -2 + 2√7

Так как x = ±√y, то корни уравнения x^4 - 5x^2 - 36 = 0 будут равны:

x1 = √(2 + 2√7), x2 = -√(2 + 2√7), x3 = √(2 - 2√7), x4 = -√(2 - 2√7)

Теперь, чтобы найти произведение всех корней, мы можем воспользоваться формулой Виета для четвертой степени:

x1x2x3*x4 = -e/a = -(-36/1) = 36

Таким образом, произведение всех корней уравнения x^4 - 5x^2 - 36 = 0 равно 36.