Question

При якому значенні х значення виразів х-1, 1-2х і х+7 будуть послідовними членами геометричної прогресії?

Answer 1

Член геометрической прогрессии равен среднему геометрическому двух соседних членов:
Возводя в квадрат, поставим условие:
$1 - 2x \ \textgreater \ 0 \\ 1 \ \textgreater \ 2x \\ x \ \textless \ 0,5$

$\sqrt{ (x - 1)(x + 7) } = (1 - 2x) \\ (x - 1)(x + 7) = (1 - 2x)^2 \\ x^2 + 7x - x - 7 = 1 - 4x + 4 \\ x^2+ 6x + 4x - 7 - 4 = 0 \\ x^2 + 10x - 11 = 0 \\ \\ x_1 + x_2 = -10 \\ x_1 \cdot x_2 = -11 \\ \\ x_1 = -11 \\ x_2 = 1$
x = 1 не уд. поставленному условию.
Ответ: при x = -11.

Answer 2

Якщо значення $x-1$, $1-2x$ і $x+7$ є послідовними членами геометричної прогресії, тоді ми можемо записати:

$(x-1)r = 1-2x \qquad \text{та} \qquad (1-2x)r = x+7$

де $r$ є загальним знаменником прогресії. Можемо розв'язати цю систему рівнянь, щоб знайти $x$ та $r$.

Розв'язуємо перше рівняння відносно $r$:

$r = \frac{1-2x}{x-1}$

Підставляємо це значення у друге рівняння:

$(1-2x)\cdot\frac{1-2x}{x-1} = x+7$

$\frac{(1-2x)^2}{x-1} = x+7$

$1-4x+x^2 = (x-1)(x+7)$

$x^2-5x-8 = 0$

Розв'язуємо це квадратне рівняння, використовуючи формулу дискримінанту:

$x = \frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot1} = \frac{5\pm\sqrt{57}}{2}$

Таким чином, коли $x = \frac{5+\sqrt{57}}{2}$ або $x = \frac{5-\sqrt{57}}{2}$, тоді $x-1$, $1-2x$ і $x+7$ будуть послідовними членами геометричної прогресії.