Question

Решите уравнения 1) х ⁴ - 5х² - 36 = 0 2) 4х⁴ - 13х² + 3 = 0

Answer 1

1)  х ⁴ - 5х² - 36 = 0
Сделаем замену t = x^2
t^2 - 5t - 36 = 0
по Теореме Виетта
t = 9
t = -4
Обратная замена
x^2 = 9 => x = +-3
x^2 = - 4 неверное равенство (квадрат не может быть отрицательным)
Ответ: {+-3}
2)  4х⁴ - 13х² + 3 = 0
Сделаем замену x^2 = t
4t^2 - 13t + 3 = 0
По теореме Виетта
t = 1/4
t = 3
Обратная замена
x^2 = 1/4 => x = +-1/2
x^2 = 3 => x = +-√3
Ответ: {+-1/2; +-√3}

Answer 2

1. Решим данное уравнение с помощью замены переменной.

Пусть u = x². Тогда уравнение принимает вид:

u² - 5u - 36 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно u:

u₁,₂ = (5 ± √(5² + 4·36)) / 2 = (5 ± 11) / 2

Таким образом, получаем два значения u: u₁ = 8 и u₂ = -3.

Возвращаемся к исходной переменной x:

x² = 8 => x₁ = √8, x₂ = -√8

x² = -3 => нет действительных решений

Ответ: x₁ = √8, x₂ = -√8.

2. Решим данное уравнение с помощью замены переменной.

Пусть u = x². Тогда уравнение принимает вид:

4u² - 13u + 3 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно u:

u₁,₂ = (13 ± √(13² - 4·4·3)) / 8 = (13 ± √145) / 8

Таким образом, получаем два значения u: u₁ ≈ 1.056 и u₂ ≈ 0.284.

Возвращаемся к исходной переменной x:

x² ≈ 1.056 => x₁ ≈ √1.056, x₂ ≈ -√1.056

x² ≈ 0.284 => x₃ ≈ √0.284, x₄ ≈ -√0.284

Ответ: x₁ ≈ 1.028, x₂ ≈ -1.028, x₃ ≈ 0.533, x₄ ≈ -0.533.