Question

Исследуйте на ограниченность функцию y=2x2-3x-1 a)ограничена сверху б)ограничено снизу в)ограничена и снизу, и сверху г)не ограничена ни снизу,ни сверху

Answer 1

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН, КОЭФ-Т ПРИ X^2>0

ОГРАНИЧЕН СНИЗУ.

Answer 2

Для того чтобы исследовать функцию на ограниченность, необходимо определить, существует ли константа M, такая что |y| <= M для всех x.

a) Функция y=2x^2-3x-1 неограничена сверху. Это можно показать, взяв любое положительное число M и нахождения такого x, при котором y > M. Например, если x=100, то y=2(100)^2-3(100)-1 = 19799 > M для любого M.

b) Функция y=2x^2-3x-1 ограничена снизу. Чтобы это показать, можно взять M=0 и показать, что существует такое число x, при котором y >= 0. Для этого найдем вершину параболы (точку минимума): x0 = -b/2a = 3/(22) = 3/4 и подставим это значение в функцию: y(x0) = 2(3/4)^2 - 3*(3/4) - 1 = -7/16. Таким образом, y(x) >= -7/16 для всех x.

c) Функция y=2x^2-3x-1 ограничена и сверху, и снизу. Мы уже показали, что она ограничена снизу. Чтобы показать, что она ограничена сверху, можно взять M=1000 (или любое другое достаточно большое число) и показать, что существует такое число x, при котором y <= M. Для этого найдем вершину параболы: x0 = -b/2a = 3/(22) = 3/4 и подставим это значение в функцию: y(x0) = 2(3/4)^2 - 3*(3/4) - 1 = -7/16. Таким образом, мы знаем, что функция ограничена снизу (-7/16 <= y(x) для всех x) и сверху (y(x) <= 1000 для всех x), то есть она ограничена.

d) Функция y=2x^2-3x-1 неограничена ни снизу, ни сверху. Мы уже показали, что функция неограничена сверху. Чтобы показать, что она неограничена снизу, можно взять отрицательное число M и показать, что существует такое число x, при котором y < M. Например, если x=-100, то y=2(-100)^2-3(-100)-1 = 20199 < M для любого отрицательного M. Таким образом, функция неограничена ни снизу, ни сверху