Question

Два слесаря работая одновременно могут выполнить работу на 8 дней быстрее чем первый слесарь один и на 18 дней быстрее чем второй слесарь сколько дней потребуется слесарям на совместное выполнение задания Решите пожалуйста, если можно с таблицей.

Answer 1

Обозначим количество дней на совместное выполнение задания слесарями буквой х.  

Тогда первый слесарь может выполнить всю работу за (х + 8) дней, а второй сможет это сделать за (х + 18) дней.

Выразим производительности: 1/х - совместная производительность двух слесарей, 1/(х + 8) - это производительность первого слесаря, 1/(х + 18) - производительность второго слесаря.

Составляем уравнение: 1/х = 1/(х + 8) + 1/(х + 18).

1/(х + 8) + 1/(х + 18) = 1/х.

(х + 18 + х + 8)/(х + 8)(х + 18) = 1/х.

(2х + 26)/(х² + 8х + 18х + 144) = 1/х.

(2х + 26)/(х² + 26х + 144) = 1/х.

По правилу пропорции:

х(2х + 26) = х² + 26х + 144.

2х² + 26х - х² - 26х = 144.

х² = 144.

х = -12 (не подходит).

х = 12.

Ответ: на совместное выполнение задания слесарям потребуется 12 дней

Answer 2

Давайте обозначим скорость работы первого слесаря как $x$, а скорость работы второго слесаря как $y$. Тогда мы можем записать систему уравнений:

$$\begin{aligned} \frac{1}{x+y} &= \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{x+2y} \\ \frac{1}{x+y} &= \frac{1}{x+2y} + \frac{1}{y} - \frac{1}{x+y+8} \end{aligned}$$

Решив эту систему, мы найдем скорость работы первого и второго слесарей. Затем мы можем найти время, которое им потребуется на выполнение работы, если они работают вместе.

Воспользуемся таблицей для удобства решения системы уравнений:

Уравнение	Выражение
$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{x+2y}$	$xy(x+2y) = (x+y)(x+y-2y)$
$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{x+2y} + \frac{1}{y} - \frac{1}{x+y+8}$	$y(x+y+8)(x+2y) = (x+y)(x+2y)(x+y+8) - x(x+2y)(x+y+8)$

Упростим первое уравнение:

$$xy(x+2y) = (x+y)(x+y-2y) \\ \Rightarrow xy(x+2y) = (x+y)^2 - 2y(x+y) \\ \Rightarrow xy(x+2y) = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy - 2y^2 \\ \Rightarrow x^2 - xy - y^2 = 0 \\ \Rightarrow (x-y)(x+y) = xy \\ \Rightarrow x+y = \frac{xy}{x-y}$$

Заменим это выражение во втором уравнении:

$$y(x+y+8)(x+2y) = (x+y)(x+2y)(x+y+8) - x(x+2y)(x+y+8) \\ \Rightarrow y\left(\frac{xy}{x-y}+8\right)(x+2y) = (x+y)\left(x+2y+\frac{xy}{x-y}+8\right) - x(x+2y+\frac{xy}{x-y}+8) \\ \Rightarrow y(x^2+2xy+8x-xy^2+8x-8y^2) = (x+y)(x^2+2xy+8x+2y^2+\frac{xy^2}{x-y}+8x+8y) - x(x^2+2xy+8x+xy-8y^2+8x-8y^2) \\ \Rightarrow y(x^2+10xy-9y^2+16x) = (x+y)(x^2+10xy+9y^2+\frac{xy^2}{x-y}+18x+8$$