Question

Решите неравенство,воспользовавшись введением новой переменной: x^2-2|x|-8>0

Answer 1

x^2-2|x|-8>0

Пусть |x|=t тогда

t^2-2t-8>0

Решу уравнение t^2-2t-8=0

по тиореме обратной тиореме виета t1=-2

                                                        t2=4

Вернемся к х:

|x|=4 или |x|=-2

х=±4           Решений нет

Решим методом интервалов

Числа 4 и -4 разбивают числовую прямую на промежутки в которых сохраняется знак левой части

____+___-4_______-________4_____+____

x^2-2|x|-8>0 при х∈(-∞;-4)u(4;+∞)

Ответ (-∞;-4)u(4;+∞)

 

Answer 2

Для решения данного неравенства, можно ввести новую переменную y = |x|. Тогда неравенство можно переписать в виде:

y^2 - 2y - 8 > 0

Далее можно решить это квадратное неравенство с помощью метода интервалов. Для этого нужно сначала найти корни уравнения y^2 - 2y - 8 = 0:

y1 = (-(-2) + sqrt((-2)^2 - 41(-8))) / (21) = 2 + 2sqrt(2) y2 = (-(-2) - sqrt((-2)^2 - 41(-8))) / (21) = 2 - 2sqrt(2)

Теперь рассмотрим 3 интервала:

1. y < 0: в этом интервале у нас нет решений, так как |x| всегда положительно
2. 0 ≤ y < 2 - 2sqrt(2): в этом интервале у нас имеется решение |x| < 2 - 2sqrt(2), то есть - (2 - 2sqrt(2)) < x < 2 - 2sqrt(2)
3. y ≥ 2 + 2sqrt(2): в этом интервале у нас также имеется решение |x| > 2 + 2sqrt(2), то есть x < - (2 + 2sqrt(2)) или x > 2 + 2sqrt(2)

Итак, решением исходного неравенства является объединение интервалов из пункта 2 и 3:

• (2 + 2sqrt(2)) < x < - (2 - 2sqrt(2)) или 2 - 2sqrt(2) < x < 2 + 2sqrt(2)