Question

Найти корни уравнения sin4x=-1

Answer 1

Пусть 4х = а
тогда sinа = -1
а это частный случай:
а = 3П/2 + 2Пн
4х = 3П/2 + 2Пн
х = 3П/8 + Пн/2

Answer 2

Уравнение sin 4x = -1 не имеет решений в обычном смысле, поскольку значение синуса находится в диапазоне от -1 до 1, а -1 не является допустимым значением для синуса угла.

Если предположить, что знак "="- был ошибочно записан вместо знака "+" в уравнении sin 4x = +1, то мы можем найти решения.

Используя тригонометрическую формулу для синуса удвоенного угла, получаем:

arduinoCopy code
sin 4x = 2 sin 2x cos 2x

Теперь мы можем заменить sin 2x и cos 2x используя известные значения:

arduinoCopy code
2 sin 2x cos 2x = 2 (2 sin x cos x) (cos^2 x - sin^2 x)
                 = 4 sin x cos x (cos^2 x - sin^2 x)

Затем мы можем привести к квадратному уравнению, используя тригонометрическую формулу sin^2 x + cos^2 x = 1:

arduinoCopy code
4 sin x cos x (cos^2 x - sin^2 x) = 1
4 sin x cos x (1 - 2 sin^2 x) = 1
8 sin x cos^2 x - 4 sin^3 x = 1

Заменив sin x на t, получаем квадратное уравнение:

diffCopy code
-4t^2 + 8t - 1 = 0

Решив его с помощью формулы квадратного корня, получаем:

arduinoCopy code
t = (2 ± sqrt(3))/2

Возвращаясь к sin x, получаем два решения:

arduinoCopy code
sin x = (2 + sqrt(3))/4, sin x = (2 - sqrt(3))/4

Теперь, чтобы найти все решения исходного уравнения, мы должны рассмотреть все углы, для которых sin x равен одному из этих значений. Одним из таких углов является pi/3, тогда:

luaCopy code
sin(pi/3) = (2 + sqrt(3))/4

Аналогично, можно решить уравнение sin x = (2 - sqrt(3))/4 и найти все соответствующие углы. Таким образом, все решения уравнения sin 4x = +1 имеют вид:

luaCopy code
x = k*pi/4 + (-1)^k * pi/12, где k - любое целое число