Question

Площа прямокутника 12 см  квадратних  а довжина діагоналі 5 см . Знайти сторони прямокутника

Answer 1

Пусть стороны прямоугольника  х  и y,  тогда  зная, что площадь равна 12,
составим уравнение:  х*y  =  12

А зная длину диагонали по теореме Пифагора получаем:  х² + y² = 25
Итак имеем систему: 

                     х*y  =  12
                     х² + y² = 25

                     y  =  12/х
                     х² + (12/х)² = 25

Решаем второе уравнение системы:
                      х² + 144/х² = 25      |  *х²              
                      х^4 + 144 - 25х² = 0
                              Замена:  х² = t ,  t > 0
                       t²  -  25t + 144=0
                                 D = 625  - 4*144  = 625 - 576 = 49
                       t1 = (25+7)/2  =  16
                       t2 = (25-7)/2  =  9

                       х²  = 16                        или          х²  = 9    
                       х  = 4                                          х  = 3
Тогда               y  =  12/4 = 3           или            y  =  12/3   = 4

Ответ:  стороны прямоугольника 3 и 4 .

Answer 2

Позначимо сторони прямокутника як a та b. Тоді ми маємо два рівняння, що описують властивості цього прямокутника:

a * b = 12 (площа прямокутника) a^2 + b^2 = 5^2 = 25 (теорема Піфагора для прямокутного трикутника, де гіпотенуза - діагональ прямокутника)

Можна розв'язати ці рівняння методом елімінації змінних, зведенням до квадрату та інших методів, але найшвидший спосіб - використати метод підстановки.

З першого рівняння виразимо b як b = 12/a. Підставимо це значення в друге рівняння і отримаємо:

a^2 + (12/a)^2 = 25

Розкриваємо дужки та переносимо все до одного боку:

a^4 - 25a^2 + 144 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння відносно a^2. Розв'язуємо його за допомогою формули дискримінанту:

D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 41144 = 1

a^2 = (25 ± 1)/2

З цього маємо два розв'язки:

a^2 = 13/2, або a^2 = 12/2 = 6

Однак, наше початкове рівняння a*b=12 говорить нам, що a та b мають бути додатніми числами. Тому перший розв'язок не підходить. Залишається розв'язати a^2 = 6. Це дає нам:

a = √6 ≈ 2.45

b = 12/a ≈ 4.9

Тому сторони прямокутника довжиною 12 квадратних см та діагоналлю 5 см дорівнюють приблизно 2.45 см та 4.9 см відповідно.