Question

2/√3(tgx-ctgx)=tg²x+ctg²x-2 Решить уравнение

Answer 1

Решение прицеплено в картинке.

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем привести его к квадратному уравнению относительно одного из тригонометрических функций.

Заметим, что у нас есть разность тангенса и котангенса, которую можно заменить на одну функцию, используя тригонометрическое тождество:

tgx - ctgx = 2 * tg(2x)

Таким образом, уравнение примет вид:

2/√3 * tg(2x) = tg²x + ctg²x - 2

Выразим ctg²x через tg²x, используя тригонометрическое тождество:

ctg²x = 1 / tg²x

Подставим это выражение в уравнение:

2/√3 * tg(2x) = tg²x + 1 / tg²x - 2

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения и умножим обе части на tg²x:

2/√3 * tg(2x) * tg²x - tg⁴x - 1 + 2tg²x = 0

Обозначим tg²x как t и заменим tg(2x) на 2t / (1 - t²) , используя тригонометрическое тождество:

2/√3 * (2t / (1 - t²)) * t - t⁴ - 1 + 2t = 0

Разложим числитель дроби:

4t² / (1 - t²) - t⁴ - 1 + 2t = 0

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

t⁴ + 4t³ - t² - 4t - 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно t³, которое можно решить стандартным способом, используя формулу для решения кубических уравнений или графический метод.

Одно из его корней -1, найдем остальные:

t³ = (1 - √5)/2, t³ = (1 + √5)/2

Таким образом, мы нашли два значения tg²x:

tg²x = (1 - √5)/2, tg²x = (1 + √5)/2

Для каждого из них можем найти соответствующее значение x, используя обратные тригонометрические функции:

x = atan(sqrt((1 - √5)/2)), x = atan(sqrt((1 + √5)/2))

Ответ:

x = atan(sqrt((1 - √5)/2)) или x = atan(sqrt((1 + √5)/2))