Question

Докажите, что синус любого угла треугольника всегда положительный.Верно ли это для косинуса тангенса котангенса?

Answer 1

В треугольнике один угол не может быть больше 180.
а для углов от 0 до 180 синус положительный.

Про косинус такого сказать нельзя, т.к. при угле от 90 до 180 косинус отрицательный,

т.к. тангнс=синус/косинус и катангенс=косинус/синус, то очевидно, что про них ничего определенного сказать нельзя, если точно не знаешь угол

Answer 2

Для доказательства того, что синус любого угла треугольника всегда положительный, нам нужно рассмотреть определение синуса. Для угла A в прямоугольном треугольнике ABC, где гипотенуза равна c, а катеты равны a и b соответственно, синус определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin(A) = a/c

Таким образом, синус угла A будет положительным, если противолежащий катет a является положительным (то есть лежит в той же полуплоскости, что и гипотенуза c). Все углы треугольника находятся в диапазоне от 0 до 180 градусов, поэтому их синус всегда положительный.

Теперь рассмотрим косинус угла A. Косинус определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos(A) = b/c

Косинус угла A может быть положительным или отрицательным, в зависимости от знака прилежащего катета b. Если катет b лежит в той же полуплоскости, что и гипотенуза c, то косинус будет положительным, иначе отрицательным.

Для тангенса и котангенса мы можем использовать следующие определения:

tan(A) = sin(A)/cos(A) = a/b

ctg(A) = cos(A)/sin(A) = b/a

Таким образом, если синус и косинус одного и того же угла имеют одинаковые знаки, то тангенс и котангенс этого угла будут положительными. В противном случае, тангенс и котангенс будут отрицательными.