Question

ПОМОГИТЕ ПЛЕЗ 14 ЗАДАЧА ПРОФИЛЬНЫЙ МАТАН !!! В основании пирамиды SABC лежит треугольник АВС со сторонами АС = 9, ВС = 2√6, АВ = √105; вершина S проецируется в центр описанной окружности основания. а) Докажите, что точка S равноудалена от точек А, В и С. б) Точка Р лежит на ребре SC, точка Q – середина ребра SB, высота пирамиды SABC равна 10. Прямая РQ параллельна плоскости АВС. Найдите объем пирамиды SАРQ

Answer 1

а) Обозначим за O - центр описанной окружности. Тогда OC=OB=OA как радиусы этой окружности. Из условия O - проекция точки S на плоскость основания, а значит ∠SOC=∠SOB=∠SOA=90°; Рассмотрим три прямоугольных треугольника: SOA, SOB, SOC: SO - их общая сторона, OA=OB=OC; Значит, они равны и, в частности, SA=SB=SC, что и требовалось.

б) Поскольку PQ параллельна плоскости основания и лежит в одной плоскости с CB, то она параллельна CB. Так как Q - середина SB, то PQ - средняя линия треугольника SCB. Отсюда следует, что площади треугольников SPQ и SCB относятся соответственно как 1:4 (4 - квадрат коэффициента подобия)

Теперь рассмотрим сами пирамиды. Пусть SPQ и SCB - их основания. Значит у этих пирамид относительно этого основания общая высота. Следовательно, объемы пирамид относятся как площади соответствующих оснований, т.е. 1:4.

Заметим, что 9²+(2√6)²=(√105)², значит, треугольник ABC - прямоугольный. Объем пирамиды SABC: V=SH/3=((9*2√6)/2)*10/3=30√6

Искомый объем в четыре раза меньше, т.е. равен (15√6)/2

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства описанных окружностей, а также формулу для объема пирамиды.

а) Чтобы доказать, что точка S равноудалена от точек А, В и С, нам нужно показать, что расстояние от точки S до каждой из этих точек равно. Поскольку точка S проецируется в центр описанной окружности треугольника АВС, она находится на пересечении перпендикуляров, опущенных из центра окружности к сторонам треугольника.

Таким образом, мы можем определить точку S как центр окружности, проходящей через точки А, В и С. Для этого нам нужно найти радиус этой окружности, который равен половине длины диагонали треугольника АВС:

r = 1/2 * √(2*(AB^2 + AC^2 + BC^2) - (AB^4 + AC^4 + BC^4)/2)

Вычислив эту формулу, мы получим r = √210/6.

Теперь нам нужно показать, что расстояние от точки S до точек А, В и С равно r. Расстояние от точки S до точки А можно вычислить как расстояние между центром окружности и точкой А:

SA = √((√105/2 - √210/12)^2 + (9/2)^2) = √210/6

Аналогично, расстояние от точки S до точки В и С также равно r. Таким образом, мы доказали, что точка S равноудалена от точек А, В и С.

б) Чтобы найти объем пирамиды SАРQ, нам нужно вычислить ее высоту и площадь основания. Затем мы можем использовать формулу для объема пирамиды:

V = 1/3 * S * h

где S - площадь основания, h - высота.

Поскольку прямая РQ параллельна плоскости АВС, то она пересекает ребро AB в его середине. Поэтому точка Q является серединой ребра AB, и SQ = QB = √(105)/2.

Точка P лежит на ребре SC, поэтому SP = 10. Рассмотрим треугольник SPQ. Мы уже знаем, что SQ = √(105)/2. Чтобы найти высоту этого треугольника, нам нужно найти расстояние