Question

В 8 классе школы 100 человек. В школе есть 3 факультатива: по математике, по биологии и по географии. На факультатив по математике ходят 30 человек, по географии - 50 человек, по биологии - 45 человек, причем на математику и на географию ходят 20 человек, на математику и на биологию - 10 человек, на географию и на биологию - 35 человек. Сколько человек ходят на все три факультатива, если никуда не ходят 35 человек.

Answer 1

НА ВСЕ ТРИ ХОДЯТ ПЯТЕРО

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать формулу включений-исключений:

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|,$

где $|A|$ обозначает количество элементов в множестве $A$.

Применяя эту формулу к нашей задаче, имеем:

$|М \cup Г \cup Б| = 30 + 50 + 45 - 20 - 10 - 35 + |М \cap Г \cap Б|,$

где $М$, $Г$ и $Б$ обозначают множества учеников, которые ходят на факультатив по математике, географии и биологии соответственно.

Так как нам известно, что никуда не ходят 35 человек, то из общего числа учеников школы следует вычесть эту величину:

$100 - 35 = 65$

Таким образом, имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

30 + 50 + 45 - 20 - 10 - 35 + |М \cap Г \cap Б| = x \\ 30 + 50 + 45 + |М \cap Г \cap Б| = y \\ \end{cases}$$ где $x$ обозначает количество учеников, которые ходят хотя бы на один факультатив, а $y$ обозначает количество учеников, которые ходят на факультатив по математике, географии и биологии. Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $$(30 + 50 + 45 - 20 - 10 - 35 + |М \cap Г \cap Б|) - (30 + 50 + 45 + |М \cap Г \cap Б|) = x - y,$$ то есть: $$|М \cap Г \cap Б| - 20 = x - y.$$ Заметим, что из условия задачи следует, что $x = 65$, то есть количество учеников, которые ходят хотя бы на один факультатив, равно 65. Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получаем: $$|М \cap Г \cap Б| - 20 = 65 - y,$$ откуда: $$|М \cap Г \cap Б| = 85 - y.$$ Осталось найти $y$, то есть количество учеников, которые ходят на факультатив по математике, географии и биологии. Для этого заметим, что сумма числа учеников на трех факультативах, учеников на двух факульт