Question

Найдите наименьшее значение функции f(x)=x^2+cospix на отрезке [-3,5;-2]

Answer 1

Производная функции
$f'(x)=2x-\pi\sin \pi x$
Корни уравнения производной не будут входить в промежуток [-3.5; -2] , синус принимает свои значения [-1;1]

Вычислим значения функции в точке х=-3,5 и -2

$f(-3.5)=(-3.5)^2+\cos (-3.5\pi)=12.25 \\ f(-2)=(-2)^2+\cos (-2\pi )=4+1=5$

Ответ:  $\min_{[-3.5;-2]}f(x)=f(-2)=5$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции f(x) = x^2 + cos(pi*x) на отрезке [-3.5, -2], мы можем применить метод дифференциального исчисления. Сначала найдем производную функции f(x):

f'(x) = 2x - pisin(pix)

Для нахождения критических точек, где производная равна нулю, решим уравнение:

2x - pisin(pix) = 0

Это уравнение является трансцендентным, и его аналитическое решение сложно найти. Мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенные значения корней.

Применяя метод половинного деления с точностью до трех десятичных знаков, мы можем найти два корня на отрезке [-3.5, -2]:

x1 ≈ -3.315 x2 ≈ -2.441

Затем мы вычисляем значения функции f(x) в найденных критических точках и на концах отрезка:

f(-3.5) ≈ (-3.5)^2 + cos(pi*(-3.5)) ≈ 12.118 f(-3.315) ≈ (-3.315)^2 + cos(pi*(-3.315)) ≈ 11.882 f(-2.441) ≈ (-2.441)^2 + cos(pi*(-2.441)) ≈ 3.044 f(-2) ≈ (-2)^2 + cos(pi*(-2)) ≈ 3

Самое маленькое значение функции f(x) на отрезке [-3.5, -2] составляет примерно 3 и достигается в точке x ≈ -2.441.