Question

Решить уравнение x^3 +3x-2i=0, где i - мнимая единица.

Answer 1

Разложим средний член, сгруппируем, и с помощью формулы сокращённого умножения и внесения за скобки получим две скобки которые и решаем

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем использовать метод Ньютона для нахождения приближенных значений корней. Начнем с выбора начального значения x₀.

Пусть x₀ = 1. Тогда применим метод Ньютона для получения следующего приближения:

x₁ = x₀ - (f(x₀) / f'(x₀))

где f(x) = x³ + 3x - 2i, а f'(x) - это производная функции f(x).

Для нашего уравнения, f(x) = x³ + 3x - 2i, а f'(x) = 3x² + 3.

Подставим эти значения в формулу:

x₁ = x₀ - ((x₀³ + 3x₀ - 2i) / (3x₀² + 3))

Теперь вычислим x₁:

x₁ = 1 - ((1³ + 3(1) - 2i) / (3(1)² + 3)) = 1 - ((1 + 3 - 2i) / (3 + 3)) = 1 - (4 - 2i) / 6 = 1 - (4/6 - (2/6)i) = 1 - (2/3 - (1/3)i) = 1 - 2/3 + (1/3)i = 1/3 + (1/3)i

Теперь мы можем использовать это значение x₁ в качестве нового начального приближения и продолжить итерацию, чтобы получить следующее приближение x₂. Продолжим этот процесс до тех пор, пока не достигнем достаточной точности.

Поскольку наше уравнение имеет комплексные корни, мы остановимся, когда разница между текущим и предыдущим приближением станет достаточно маленькой. В данном случае, давайте остановимся, когда разница будет меньше чем 0.0001.

Продолжим итерации:

x₂ = x₁ - ((x₁³ + 3x₁ - 2i) / (3x₁² + 3)) = (1/3 + (1/3)i) - ((((1/3)³ + 3(1/3) - 2i) / (3(1/3)² + 3)) = (1/3 + (1/3)i) - (((1/27) + 1 - 2i) / (1/3 + 3)) = (1/3 + (1/3)i) - (((1/27) + 1 - 2i) / (10/3)) = (1/3 + (1/3)i) - (((1/27) + 1 - 2i) * (3/10)) = (1/3 + (1/3)i) - ((3/270 + 30/270 - 60i/270)) = (1/3 + (1/3)i)