Question

X^3/(x^2+3)найти интервалы возрастания и убывания функции

Answer 1

Функция возрастает там, где производная больше нуля, убывает там, где производная меньше нуля
Найдем производную
y'(x) = (3x^2 * (x^2+3) - 2x*x^3) / (x^2+3)^2 =
= (3x^4 + 9x^2 - 2x^4) / (x^2 + 3)^2 =
= x^2(x^2 + 9) / (x^2 + 3)^2
Заметим, что производная всегда больше либо равна нулю, значит функция все время возрастает

Answer 2

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции $f(x) = \frac{{x^3}}{{x^2 + 3}}$, нам понадобится вычислить ее производную и найти ее нули.

Сначала найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{{(x^2 + 3)(3x^2) - x^3(2x)}}{{(x^2 + 3)^2}} = \frac{{3x^4 + 9x^2 - 2x^4}}{{(x^2 + 3)^2}} = \frac{{x^4 + 9x^2}}{{(x^2 + 3)^2}}$

Затем приравняем производную к нулю и решим уравнение $f'(x) = 0$: $x^4 + 9x^2 = 0$

Факторизуем это уравнение: $x^2(x^2 + 9) = 0$

Решениями этого уравнения являются $x = 0$ и $x = \pm 3i$, где $i$ - мнимая единица.

Теперь мы можем построить таблицу знаков производной $f'(x)$ и определить интервалы возрастания и убывания функции $f(x)$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty, -3i) & (-3i, 0) & (0, 3i) & (3i, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & - & + & + \\ \hline \text{Возрастание} & + & & + & + \\ \hline \text{Убывание} & & - & & \\ \hline \end{array}$$

Таким образом, функция $f(x)$ возрастает на интервалах $(- \infty, -3i)$ и $(0, 3i)$, и убывает на интервале $(-3i, 0)$.