Question

Как решить? Докажите, что ab<0, то имеет место неравенство a/b+b/a<-2 ?

Answer 1

$\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}+2= \frac{a^2+2ab+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2}{ab}$

Если  $ab\ \textless \ 0$, то  $(a+b)^2\ >= \ 0$. Равенство возможно, если a и b одинаковы по модулю, но разные за знаком, т.е.  $a=-b$.
И вот мы имеем, что не отрицательное выражение делится на отрицательное выражение. Вся дробь выходит отрицательной равной нулю, значит и исходное выражение - истина.

Answer 2

Для того чтобы доказать неравенство $a/b + b/a < -2$ при условии $ab < 0$, давайте рассмотрим два случая: $a > 0$ и $a < 0$.

Случай 1: $a > 0$ Если $a > 0$, то $b < 0$ (по условию $ab < 0$). Разделим обе части неравенства на $ab$ (положительное число) и сменяем направление неравенства: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < -2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{b} + \frac{1}{a} < -\frac{2}{ab}$

Теперь заметим, что $\frac{1}{b} < 0$ и $\frac{1}{a} > 0$ (так как $a > 0$ и $b < 0$). Поскольку сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна, получаем: $\frac{1}{b} + \frac{1}{a} < 0$

Также заметим, что $-\frac{2}{ab} > 0$ (поскольку $ab < 0$ и $-2 < 0$). Теперь мы имеем: $\frac{1}{b} + \frac{1}{a} < 0 < -\frac{2}{ab}$

Таким образом, неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < -2$ верно, когда $a > 0$ и $ab < 0$.

Случай 2: $a < 0$ Если $a < 0$, то $b > 0$ (по условию $ab < 0$). Разделим обе части неравенства на $ab$ (отрицательное число) и сменяем направление неравенства: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < -2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{b} + \frac{1}{a} < -\frac{2}{ab}$

Теперь заметим, что $\frac{1}{b} > 0$ и $\frac{1}{a} < 0$ (так как $a < 0$ и $b > 0$). Поскольку сумма положительного и отрицательного чисел может быть как положительной, так и отрицательной, неравенство не выполняется в этом случае.

Таким образом, мы доказали, что неравенство $a/b + b/a < -2$ верно только при условии $a > 0$ и $ab < 0$.