Question

Решите пожалуйста буду очень благодарен... Логарифмы : lg(2x+1)=0.5lg(1-3x); 3log по основанию 1/2(2x-1)больше или равно 0

Answer 1

Перый вроде получился, а неравенства я забыл как решать (

 

Answer 2

Для начала решим уравнение lg(2x+1)=0.5lg(1-3x):

Перепишем выражение в эквивалентной форме, используя свойство логарифмов log(a^b) = b*log(a):

scssCopy code
lg(2x+1) = lg((1-3x)^0.5)

Так как lg(a) = lg(b) тогда и только тогда, когда a = b, получаем:

scssCopy code
2x + 1 = (1 - 3x)^0.5

Возводим обе части уравнения в квадрат и решаем полученное квадратное уравнение:

scssCopy code
4x^2 + 4x + 1 = 1 - 3x
4x^2 + 7x = 0
x(4x + 7) = 0

Таким образом, получаем два решения: x = 0 или x = -7/4.

Однако, чтобы было корректно решение, необходимо проверить оба значения, поскольку при некоторых значениях аргумента логарифмов могут быть отрицательными или равными нулю, что не допустимо.

Проверка:

1. x = 0:

   scssCopy code
   lg(2x+1) = lg(1) = 0
   0.5lg(1-3x) = 0.5lg(1) = 0
   

   Условие lg(2x+1)=0.5lg(1-3x) выполняется при x = 0.

2. x = -7/4:

   scssCopy code
   lg(2x+1) = lg(-3/2) - не определено
   0.5lg(1-3x) = 0.5lg(22/16) > 0
   

   Условие lg(2x+1)=0.5lg(1-3x) не выполняется при x = -7/4.

Таким образом, корректным решением данного уравнения является x = 0.

Теперь решим неравенство 3log1/2(2x-1) >= 0:

scssCopy code
3log1/2(2x-1) >= 0
log1/2(2x-1) >= 0

Так как log(a) >= 0 тогда и только тогда, когда a > 1, получаем:

Copy code
2x-1 > 1
2x > 2
x > 1

Таким образом, решением неравенства 3log1/2(2x-1) >= 0 является x > 1.