Question

Помогите, пожалуйста, с заданием 15 из ЕГЭ: ((4x^4-4x^3+x^2) / (-2x^2+5x-2)) + ((2x^3-7x^2+5x+1) / (x-2)) <= 0;

Answer 1

$\frac{4x^4-4x^3+x^2}{-2x^2+5x-2}+ \frac{2x^3-7x^2+5x+1}{x-2}\leqslant0$

ОДЗ:

$-2x^2+5x-2\neq0\\ 2x^2-5x+2\neq0\\ D=25-16=9; \sqrt {D}=3\\\\ x_{1/2}\neq0\\\\ x_1\neq \frac{1}{2}; \ \ x_2\neq2$


$-2x^2+5x-2=-(x-2)(2x-1)=(2-x)(2x-1)$

$\frac{x^2(4x^2-4x+1)}{(2-x)(2x-1)}+ \frac{2x^3-7x^2+5x+1}{x-2}\leqslant0\\\\ \frac{x^2(2x-1)^2}{(2-x)(2x-1)}+ \frac{2x^3-7x^2+5x+1}{x-2}\leqslant0\\\\ \frac{2x^3-7x^2+5x+1}{x-2}- \frac{x^2(2x-1)}{x-2}\leqslant0\\\\ \frac{2x^3-7x^2+5x+1-2x^3+x^2}{x-2}\leqslant0\\\\ -6x^2+5x+1\leqslant0\\\\ 6x^2-5x+1=0\\ D=25+24=49; \ \sqrt D=7\\\\ x_{1/2}= \frac{5\pm7}{12}\\\\ x_1=- \frac{1}{6};\ \ x_2=1$


__+__ $- \frac{1}{6}$__-__ $\frac{1}{2}$__-__1__+__2__-__

Ответ:  $x\in [- \frac{1}{6}; \frac{1}{2})\bigcup (\frac{1 }{2};1]\bigcup(2;+\infty)$

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, вам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите все точки, где знаменатель становится равным нулю. Решите уравнения (-2x^2 + 5x - 2) = 0 и (x - 2) = 0.

   Решим первое уравнение: -2x^2 + 5x - 2 = 0

   Для удобства, выполним замену переменной: y = x - 1. Тогда уравнение примет вид: -2(y + 1)^2 + 5(y + 1) - 2 = 0 Раскрываем скобки и упрощаем: -2y^2 - 9y + 1 = 0

   Решаем это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или факторизации: (2y - 1)(y + 1) = 0

   Получаем два решения: 2y - 1 = 0 => y = 1/2 y + 1 = 0 => y = -1

   Возвращаясь к исходной переменной x: x - 1 = 1/2 => x = 3/2 x - 1 = -1 => x = 0

   Таким образом, мы нашли две точки, где знаменатель становится равным нулю: x = 3/2 и x = 0.

2. Постройте таблицу знаков для каждого из множителей в исходном неравенстве. Рассмотрите интервалы между найденными точками.

   Интервалы: (-∞, 0), (0, 3/2), (3/2, +∞)

   Проверьте знак каждого множителя в этих интервалах:

   Для первого множителя ((4x^4 - 4x^3 + x^2) / (-2x^2 + 5x - 2)):

   Возьмем тестовую точку x = -1 и проверим знак первого множителя: ((4(-1)^4 - 4(-1)^3 + (-1)^2) / (-2(-1)^2 + 5(-1) - 2)) = 2/0 = undefined

   Возьмем тестовую точку x = 1 и проверим знак первого множителя: ((4(1)^4 - 4(1)^3 + (1)^2) / (-2(1)^2 + 5(1) - 2)) = 1/1 > 0

   Возьмем тестовую точку x = 2 и проверим знак первого множителя: ((4(2)^4 - 4(2)^3 + (2)^2) / (-2(2)^2 + 5