Question

Решите уравнение (x+3)^4-24(x+3)^2-25=0

Answer 1

(x+3)⁴-24(x+3)²-25=0
(x+3)²=t≥0
t²-24t-25=0   D=676
t₁=25     t₂=-1∉
(x+3)²=25
x+3=5    x₁=2
x+3=-5   x₂=-8
Ответ: x₁=2     x₂=-8.

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте сделаем замену переменной. Обозначим u = (x+3)^2. Тогда наше уравнение примет вид:

u^2 - 24u - 25 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение относительно u. Мы можем использовать квадратное уравнение вида au^2 + bu + c = 0, где a = 1, b = -24 и c = -25.

Используя квадратное уравнение, найдем значения u:

u = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

Подставим значения a = 1, b = -24 и c = -25:

u = (24 ± √((-24)^2 - 4(1)(-25))) / (2(1)) = (24 ± √(576 + 100)) / 2 = (24 ± √676) / 2 = (24 ± 26) / 2.

Таким образом, у нас два значения u:

u₁ = (24 + 26) / 2 = 50 / 2 = 25, u₂ = (24 - 26) / 2 = -2 / 2 = -1.

Теперь, вернемся к нашей замене переменной и решим уравнение относительно x:

u = (x+3)^2.

Для u₁ = 25: 25 = (x+3)^2.

Взяв квадратный корень от обеих сторон, получим: x + 3 = ±√25 x + 3 = ±5.

Отсюда получаем два значения x: x₁ = -3 + 5 = 2, x₂ = -3 - 5 = -8.

Для u₂ = -1: -1 = (x+3)^2.

Взяв квадратный корень от обеих сторон, получим: x + 3 = ±√(-1).

Поскольку √(-1) является комплексным числом, уравнение не имеет действительных корней.

Итак, решением исходного уравнения (x+3)^4 - 24(x+3)^2 - 25 = 0 являются два действительных корня: x₁ = 2 и x₂ = -8.