Question

Решите, пожалуйста, подробно: tg(2a) - 5*tg(a/2); при условии, что tg(a)=-3/4 и угол a измеряется от pi/2 до pi. Даю 100 баллов

Answer 1

Ответ:

$-18\frac{3}{7}$.

Объяснение:

$tg2a=\frac{2tga}{1-tg^2a} ;$

$tg2a=\frac{2*(-\frac{3}{4}) }{1-(-\frac{3}{4} )^2} =-\frac{3}{2}:\frac{7}{16} =-\frac{24}{7} .$

$tg\frac{a}{2} =\frac{1-cosa}{sina} =\frac{1}{sina} - ctga.$

$ctga$ - число, обратное к $tga$, следовательно $ctga=\frac{1}{tga} =-\frac{4}{3} .$

Пусть теперь sina=x. Тогда cosa=-√(1-x^2) (с учётом того, что косинус отрицателен во второй четверти). Тогда $\frac{sina}{cosa} =\frac{x}{-\sqrt{1-x^2} } =-\frac{3}{4},$ откуда находим $x=sina=\frac{3}{5} .$

Тогда $tg\frac{a}{2}=\frac{1}{\frac{3}{5} } - (-\frac{4}{3} )=\frac{5}{3} +\frac{4}{3} =3.$ ⇒$5tg\frac{a}{2} =5*3=15.$

$tg2a-5tg\frac{a}{2} =-\frac{24}{7} -15=-\frac{129}{7} =-18\frac{3}{7} .$

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, мы можем использовать известные значения для тангенса угла a и заменить их в уравнение.

У нас дано, что tg(a) = -3/4, и угол a находится в диапазоне от pi/2 до pi. Это означает, что угол a находится во втором квадранте, где тангенс отрицательный.

Мы можем найти значение tg(2a), используя формулу для удвоения угла: tg(2a) = 2tg(a) / (1 - tg^2(a))

Заменяя значение tg(a) = -3/4, получаем: tg(2a) = 2 * (-3/4) / (1 - (-3/4)^2)

Выполняя вычисления: tg(2a) = -6/4 / (1 - 9/16) tg(2a) = -3/2 / (7/16) tg(2a) = (-3/2) * (16/7) tg(2a) = -24/7

Теперь мы можем заменить найденное значение tg(2a) в исходном уравнении: tg(2a) - 5 * tg(a/2) = -24/7 - 5 * tg(a/2)

Мы должны найти значение tg(a/2). Используя формулу половинного угла, мы имеем: tg(a/2) = sqrt((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))

Заменяя значение tg(a) = -3/4 и cos(a) = -4/5 (по определению тангенса во втором квадранте), получаем: tg(a/2) = sqrt((1 - (-4/5)) / (1 + (-4/5))) tg(a/2) = sqrt((1 + 4/5) / (1 - 4/5)) tg(a/2) = sqrt((9/5) / (1/5)) tg(a/2) = sqrt(9) tg(a/2) = 3

Теперь мы можем заменить найденные значения в исходном уравнении: tg(2a) - 5 * tg(a/2) = -24/7 - 5 * 3 tg(2a) - 5 * tg(a/2) = -24/7 - 15 tg(2a) - 5 * tg(a/2) = -24/7 - 105/7 tg(2a) - 5 * tg(a/2) = (-24 - 105)/7 tg(2a) - 5 * tg(a/2) = -129/7

Таким образом, значение выражения tg(2a) - 5 * tg(a/2) равно -129/7.