Question

На доске записаны 20 натуральных чисел. Известно, что сумма любых одиннадцати чисел из них больше 1000, а сумма любых десяти чисел из них меньше 1000. Докажите, что среди них найдется число от 90 до 100

Answer 1

Доказывается методом математической индукции :)
начните размышлять со второго условия... пусть есть у меня число 900 и девять единичек (1)... ну и все остальные тоже единички, конечно же, потом проверьте на первое условие - не сходится и тд и тп.. :)

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Дирихле, также известным как принцип ящиков.

Предположим, что среди этих 20 чисел нет чисел от 90 до 100. Разделим эти числа на две группы:

• Группа A: числа меньше 90.
• Группа B: числа больше 100.

Теперь рассмотрим сумму одиннадцати чисел из группы B. Согласно условию задачи, эта сумма должна быть больше 1000. Однако, поскольку в группе B нет чисел от 90 до 100, наибольшая возможная сумма одиннадцати чисел из группы B будет меньше 1000. Это противоречие.

Следовательно, наше предположение было неверным, и среди этих 20 чисел должно быть хотя бы одно число от 90 до 100.