Question

Найдите корни уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета: 1) х2-5х+6=0; 2) х2+4х+3=0; 3) х2-16х+48=0; 4) х2-2х-3=0; 5) х2+3х-4=0; 6) х2+12х+27=0.

Answer 1

Ответ:

Теорема, обратная теореме Виета:

Если числа x₁ и х₂ таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х² + рх + q = 0.

1) х² - 5х + 6 = 0;

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=5\\x_{1}\cdot x_{2}=6\end{array}$   ⇒   $\left [\begin{array}{ll}x_{1}=2\\x_{2}=3\end{array}$

2) х² + 4х + 3 = 0

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=-4\\x_{1}\cdot x_{2}=3\end{array}$   ⇒   $\left [\begin{array}{ll}x_{1}=-1\\x_{2}=-3\end{array}$

3) х² - 16х + 48 = 0

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=16\\x_{1}\cdot x_{2}=48\end{array}$   ⇒   $\left [\begin{array}{ll}x_{1}=12\\x_{2}=4\end{array}$

4) х² - 2х - 3 = 0

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=2\\x_{1}\cdot x_{2}=-3\end{array}$   ⇒   $\left [\begin{array}{ll}x_{1}=-1\\x_{2}=3\end{array}$

5) х² + 3х - 4 = 0

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=-3\\x_{1}\cdot x_{2}=-4\end{array}$   ⇒   $\left [\begin{array}{ll}x_{1}=-4\\x_{2}=1\end{array}$

6) х² + 12х + 27 = 0

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=-12\\x_{1}\cdot x_{2}=27\end{array}$   ⇒   $\left [\begin{array}{ll}x_{1}=-9\\x_{2}=-3\end{array}$

Answer 2

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами многочлена и его корнями. Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

Используя эту теорему, мы можем найти корни данных уравнений.

1. x^2 - 5x + 6 = 0: Сумма корней: 5/1 = 5 Произведение корней: 6/1 = 6 Для нахождения конкретных корней нам нужно разложить 6 на два множителя, дающих в сумме 5. 6 = 2 * 3 Поэтому уравнение имеет два корня: x = 2 и x = 3.

2. x^2 + 4x + 3 = 0: Сумма корней: -4/1 = -4 Произведение корней: 3/1 = 3 Разложим 3 на два множителя, дающих в сумме -4: 3 = -1 * -3 Таким образом, уравнение имеет два корня: x = -1 и x = -3.

3. x^2 - 16x + 48 = 0: Сумма корней: 16/1 = 16 Произведение корней: 48/1 = 48 Разложим 48 на два множителя, дающих в сумме 16: 48 = 4 * 12 Таким образом, уравнение имеет два корня: x = 4 и x = 12.

4. x^2 - 2x - 3 = 0: Сумма корней: 2/1 = 2 Произведение корней: -3/1 = -3 Разложим -3 на два множителя, дающих в сумме 2: -3 = -3 * 1 Таким образом, уравнение имеет два корня: x = -3 и x = 1.

5. x^2 + 3x - 4 = 0: Сумма корней: -3/1 = -3 Произведение корней: -4/1 = -4 Разложим -4 на два множителя, дающих в сумме -3: -4 = -4 * 1 Таким образом, уравнение имеет два корня: x = -4 и x = 1.

6. x^2 + 12x + 27 = 0: Сумма корней: -12/1 = -12 Произведение корней: 27/1