Question

Нароооод, я прошу у вас помощи. Найдите производные функций f(x)=2x^2-2-3/x^3 Найдите точки экстремума функций f(x)=x^5-5x^4+5x^3-3

Answer 1

Воспользуемся таблицей производных
(1/x)' = -1/x^2
(x^n)' = nx^n-1
(kx+b)' = k(x+b) = k (сохранение только коеффициента.
(c)' = 0 (производное любого числа равна 0)
    Дифференцируем:
1. f'(x)= (2x^2 - 2 - 3/x^3)' = 2 * 2x - 3 * (-1/((3x^2))^2) = 4x + 3/3x^4= 4x + 1/x^4

А для того, чтобы проверить. Пользуемся обратной операцией - интегрированием. Есть таблица первообразных для этого.
Ответ: 4x + 1/x^4

2. f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 3 
   Найдем производную
   f'(x) = 5x^4 - 5*4x^3 + 5*3x^2 = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2
  f'(x) = 0
  5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 0  I : 5
  x^4 - 4x^3 + 3x^2 = 0
  Выносим x^2 за общий множитель
 x^2 (x^2 - 4x + 3) = 0
Решаем через систему
 {x^2 = 0                    {x1 = 0
{x^2 - 4x + 3 = 0        {x2 = 1
                                  {x3 = 3
Метод интервалов (отмечаем точки и ставим + и -)

--0--1--3-->
-+-0-+-1-(-)-3-+->
x(min) = 3  (точка минимума)
x(max) = 1  (точка максимума)
0 - критическая точка
Ответ: 3 -точка минимума, 1 - точка максимума.

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам с этими задачами.

1. Найдем производную функции f(x) = 2x^2 - 2 - 3/x^3. Для этого применим правила дифференцирования:

f'(x) = d/dx (2x^2) - d/dx (2) - d/dx (3/x^3)

Дифференцируя каждое слагаемое по отдельности, получим:

f'(x) = 4x - 0 + (3/x^4) * (d/dx (x^3))

f'(x) = 4x + (3/x^4) * 3x^2

f'(x) = 4x + 9x^2 / x^4

f'(x) = 4x + 9/x^2

Таким образом, производная функции f(x) равна f'(x) = 4x + 9/x^2.

2. Найдем точки экстремума функции f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 3. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

f'(x) = d/dx (x^5) - d/dx (5x^4) + d/dx (5x^3) - d/dx (3)

f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 0

Вынесем общий множитель:

5x^2 (x^2 - 4x + 3) = 0

Теперь решим два уравнения:

1. 5x^2 = 0 Решение: x = 0.

2. x^2 - 4x + 3 = 0 Факторизуем уравнение: (x - 1)(x - 3) = 0 Решения: x = 1 и x = 3.

Таким образом, точки экстремума функции f(x) равны x = 0, x = 1 и x = 3.