Question

На каком рисунке изображено решение неравенства (х-1/2)(х-1/3)(х-1/4)<=0

Answer 1

$\displaystyle \bigg(x- \frac{1}{2} \bigg)\bigg(x-\frac{1}{3}\bigg)\bigg(x-\frac{1}{4}\bigg) \leq 0$

Рассмотрим функцию  $f(x)=\bigg(x- \dfrac{1}{2} \bigg)\bigg(x-\dfrac{1}{3}\bigg)\bigg(x-\dfrac{1}{4}\bigg)$. Область определения функции - множество всех действительных чисел.

Находим нули функции:  $f(x)=0;~~ \bigg(x- \dfrac{1}{2} \bigg)\bigg(x-\dfrac{1}{3}\bigg)\bigg(x-\dfrac{1}{4}\bigg)=0.$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x-\dfrac{1}{2}=0~~~\Rightarrow~~~ x_1=\dfrac{1}{2}\\ \\ x-\dfrac{1}{3}=0~~~\Rightarrow~~~ x_2=\dfrac{1}{3}\\ \\ x-\dfrac{1}{4}=0~~~\Rightarrow~~~ x_3=\dfrac{1}{4}$


Ответ:  $x \in \bigg(-\infty;\dfrac{1}{4}\bigg]\cup\bigg[\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}\bigg]$

Answer 2

Для нахождения решения неравенства (х-1/2)(х-1/3)(х-1/4) <= 0, мы можем использовать метод интервалов знакопеременности.

Сначала найдем значения х, которые делают каждый множитель равным нулю:

х - 1/2 = 0 => х = 1/2 х - 1/3 = 0 => х = 1/3 х - 1/4 = 0 => х = 1/4

Теперь построим таблицу знаков для каждого множителя, используя эти значения и точку внутри каждого интервала:

scssCopy code
 |  (х - 1/2)  |  (х - 1/3)  |  (х - 1/4)  |

---

x < 1/4 | - | - | - |

1/4 < x < 1/3 | + | - | - |

1/3 < x < 1/2 | + | + | - |

x > 1/2 | + | + | + |

Теперь, чтобы найти значения х, для которых (х-1/2)(х-1/3)(х-1/4) <= 0, мы ищем интервалы, где знаки множителей меняются или равны нулю.

Исходя из таблицы знаков, решение неравенства можно представить в виде интервалов: 1/4 <= x <= 1/3 и 1/2 <= x

Таким образом, на рисунке будет изображено два интервала: от 1/4 до 1/3 (включая границы) и от 1/2 до бесконечности.