Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання та функції f(x) = 48x-x3 Будьласка!

Answer 1

Тут штука такая: промежуток, на котором производная положительная - это промежуток возрастания данной функции. Промежуток, на котором производная отрицательная - это промежуток убывания. Так что делать? Ищем производную, приравниваем её к нулю и проверяем её знаки на получившихся промежутках.
f'(x) = 48 -3x²
48 - 3x² = 0
3x² = 48
x² = 16
x = +-4
-∞            -4                 4                 +∞
        -                 +                  -            это знаки 48 -3x²
Ответ: f(x) = 48 -3x²  возрастает при х∈(-4; 4)
                                   убывает при х∈(-∞;-4)∪(4;+∞)

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання і спадання функції f(x) = 48x - x^3, спочатку необхідно знайти похідну цієї функції. Для цього використовується правило диференціювання степеневої функції та лінійної функції:

f'(x) = 48 - 3x^2.

Далі, треба знайти критичні точки, де f'(x) = 0. Поставляємо рівняння 48 - 3x^2 = 0 та розв'язуємо його:

3x^2 = 48, x^2 = 16, x = ±4.

Отримали дві критичні точки: x = -4 та x = 4.

Тепер перевіримо знак похідної на різних інтервалах, щоб визначити проміжки зростання і спадання функції:

1. Інтервал (-∞, -4): Обертаємося до значень ліворуч від x = -4 і беремо значення, наприклад, x = -5: f'(-5) = 48 - 3(-5)^2 = 48 - 3(25) = -27. Значення похідної від'ємне на цьому інтервалі, тому функція f(x) спадає на проміжку (-∞, -4).

2. Інтервал (-4, 4): Обертаємося до значень між критичними точками -4 і 4, і беремо значення, наприклад, x = 0: f'(0) = 48 - 3(0)^2 = 48. Значення похідної додатне на цьому інтервалі, тому функція f(x) зростає на проміжку (-4, 4).

3. Інтервал (4, +∞): Обертаємося до значень праворуч від x = 4 і беремо значення, наприклад, x = 5: f'(5) = 48 - 3(5)^2 = 48 - 3(25) = -27. Значення похідної від'ємне на цьому інтервалі, тому функція f(x) спадає на проміжку (4, +∞).

Таким чином, проміжки зростання і спадання функці