Question

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L, соответственно, в отношении 2:1, считая от вершины B. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах

Answer 1

ΔKВL подобен ΔАВС по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (ВК : ВА = ВL : ВС = 2 : 3).
ВН - высота и медиана правильного треугольника АВС, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины, значит
ВО : ВН = 2 : 3.
Значит точка пересечения медиан - точка О - лежит на KL.
Значит, и высота пирамиды SO лежит в плоскости SKL.
Так как плоскость SKL проходит через прямую SO, перпендикулярную основанию АВС, то SKL⊥ABC.

Угол между плоскостями SKL и АВС равен 90°.

Answer 2

Чтобы найти угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL, нам понадобится знание геометрии треугольной пирамиды.

Из условия задачи мы знаем, что ребра BA и BC разделены точками K и L в отношении 2:1. Обозначим длину ребра BA как a и длину ребра BC как c. Тогда длина отрезка AK будет равна 2/3 * a, а длина отрезка CL будет равна 1/3 * c.

Так как пирамида SABC является правильной треугольной пирамидой, все ее боковые грани являются равнобедренными треугольниками. То есть треугольники ASB, BSC и ASC равнобедренные.

Рассмотрим треугольник ASK. Угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL будет равен углу между боковой гранью пирамиды SABC и плоскостью сечения SKL.

Так как треугольник ASK является равнобедренным, угол между стороной AS и SK будет равен половине угла при вершине A (угол между сторонами AS и AB) в треугольнике ASB. Обозначим этот угол как α.

Из геометрии равнобедренного треугольника ASB следует, что угол между сторонами AS и AB равен 60 градусам (так как пирамида SABC является правильной треугольной пирамидой).

Таким образом, угол α равен 60 градусам.

Итак, угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL равен α, то есть 60 градусам.