Question

Lim стремится к бесконечности lim(1+(1/x))^(2x+1) lim стремится к 0 lim (1+2x)^(1/x) Помогите, пожалуйста!

Answer 1

$\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x})^{2x+1} =\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x})^{x\cdot \frac{2x+1}{x}} =\\ =\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{x\cdot \frac{2x+1}{x}}=e^{\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x+1}{x}}=e^2$

$\lim_{x\rightarrow 0}(1+2x})^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}(1+2x})^{\frac{1}{2x}\cdot\frac{2x}{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{2x}{2}}=e^2$

Answer 2

Для вычисления данных пределов воспользуемся алгебраическими свойствами пределов и некоторыми известными пределами.

1. Предел lim(1+(1/x))^(2x+1), где x стремится к бесконечности: Разложим степень (2x+1) по формуле двойного бинома: (2x+1) = 2x + 1 = x(2 + 1/x)

   Теперь можем переписать предел: lim(1+(1/x))^(2x+1) = lim(1+(1/x))^(x(2 + 1/x))

   Теперь рассмотрим два предела отдельно: a) Предел lim(1+(1/x)), где x стремится к бесконечности: Заметим, что (1/x) стремится к нулю при x стремящемся к бесконечности. Тогда 1 + (1/x) стремится к 1 при x стремящемся к бесконечности. Значит, lim(1+(1/x)) = 1.

   b) Предел lim(1+(1/x))^(x(2 + 1/x)), где x стремится к бесконечности: Используем известный предел: lim(a^b) = e^(lim(b*(ln(a))), где a > 0. В нашем случае a = lim(1+(1/x)), а b = x(2 + 1/x).

   Вычислим предел b*(ln(a)): b*(ln(a)) = x(2 + 1/x) * ln(1 + (1/x)) = x(2 + 1/x) * (1/x) (так как ln(1 + (1/x)) = 1/x при x стремящемся к бесконечности) = 2 + 1/x

   Теперь можем переписать предел: lim(1+(1/x))^(x(2 + 1/x)) = e^(lim((2 + 1/x))) = e^2 (так как lim(2 + 1/x) = 2 при x стремящемся к бесконечности)

   Итак, lim(1+(1/x))^(2x+1) = lim(1+(1/x))^(x(2 + 1/x)) = e^2.

2. Предел lim(1+2x)^(1/x), где x стремится к 0: Раскроем скобку (1+2x)^(1/x) с помощью свойства экспоненты: (1+2x)^(1/x) = e^(ln((1+2x)^(1/x)))

   Воспользуемся известным пределом: lim(a^b) = e^(lim(b*(ln(a))), где a > 0. В нашем случае a = (1+2x), а b = 1/x.

   Вычисли