Question

Доказать,что если из квадрата нечетного числа вычесть 1,то результат будет делиться на 8

Answer 1

Любое нечётное число можно представить в виде 2n + 1, где n - какое-то целое число. Тогда разность квадрата этого числа и единицы равна
(2n + 1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n = 4n(n + 1)

Очевидно, что это выражение делится на 4. Но n, n + 1 - два последовательных числа, поэтому одно из них чётно, и при любом целом n число n(n + 1) делится на 2, а всё выражение - на 8.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим квадрат нечетного числа, представим его в виде $(2n+1)^2$, где $n$ - некоторое целое число.

Вычтем из квадрата 1: $(2n+1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n$

Заметим, что $4n^2$ делится на 8, так как является произведением двух четных чисел (4 и $n^2$). Также $4n$ делится на 8, так как является произведением числа 4 и четного числа $n$.

Таким образом, $(2n+1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n$ делится на 8 без остатка.

Следовательно, если из квадрата нечетного числа вычесть 1, то результат будет делиться на 8.