Question

Решите уравнение lg(x+9)+lg(2x+8)=2

Answer 1

Одз:
$\left \{ {{x+9 \ \textgreater \ 0} \atop {2x+8 \ \textgreater \ 0}} \right. \\ \left \{ {{x \ \textgreater \ -9} \atop {x \ \textgreater \ -4}} \right. \\x \in (-4;+\infty)$
решаем:
$\lg(x+9)+\lg(2x+8)=2 \\\lg((x+9)(2x+8))=2 \\(x+9)(2x+8)=10^2 \\2x^2+8x+18x+72=100 \\2x^2+26x-28=0 \\x^2+13x-14=0 \\D=169+56=225=15^2 \\x_1= \frac{-13+15}{2} =1 \in (-4;+\infty) \\x_2= \frac{-13-15}{2}=-14\notin(-4;+\infty)$
Ответ: x=1

Answer 2

Для решения данного уравнения преобразуем его, используя свойства логарифмов:

lg(x+9) + lg(2x+8) = 2

Применим свойство логарифма произведения:

lg[(x+9)(2x+8)] = 2

Используем свойство логарифма равенства:

(x+9)(2x+8) = 10^2

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

2x^2 + 26x + 72 = 100

Перенесем все члены влево и приведем квадратное уравнение в стандартную форму:

2x^2 + 26x + 72 - 100 = 0

2x^2 + 26x - 28 = 0

Разделим все коэффициенты на 2 для упрощения:

x^2 + 13x - 14 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью факторизации:

(x + 14)(x - 1) = 0

Из этого получаем два возможных значения для x:

1. x + 14 = 0 -> x = -14
2. x - 1 = 0 -> x = 1

Таким образом, уравнение lg(x+9) + lg(2x+8) = 2 имеет два корня: x = -14 и x = 1.