Question

Помогите, срочно!!!! доказать, что a^3 + b^3 > или = a^2 b + ab^2, если а+b>0

Answer 1

(a+b)(a²-ab+b²)≥ab(a+b) , сократим обе части на(a+b)
a²-ab+b²≥ab
a²+b²≥2ab

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение математическим путем.

У нас дано, что a + b > 0. Мы хотим доказать, что a^3 + b^3 ≥ a^2b + ab^2.

Мы можем начать с разности (a^3 + b^3) - (a^2b + ab^2) и посмотреть, как она себя ведет.

(a^3 + b^3) - (a^2b + ab^2) = a^3 - a^2b + b^3 - ab^2

Мы можем факторизовать общие члены:

= a^2(a - b) + b^2(b - a)

Теперь мы можем факторизовать дальше:

= a^2(a - b) - b^2(a - b)

Теперь мы можем применить свойство факторизации разности квадратов:

= (a - b)(a^2 - b^2)

Заметим, что (a^2 - b^2) может быть записано как (a + b)(a - b):

= (a - b)(a + b)(a - b)

Теперь мы можем сократить (a - b) с обеих сторон:

= (a + b)(a - b)^2

Так как a + b > 0 (изначальное условие), а (a - b)^2 всегда неотрицательно, мы можем заключить, что (a + b)(a - b)^2 ≥ 0.

Это означает, что (a^3 + b^3) - (a^2b + ab^2) ≥ 0.

Или, эквивалентно:

a^3 + b^3 ≥ a^2b + ab^2

Таким образом, мы доказали, что a^3 + b^3 ≥ a^2b + ab^2, при условии a + b > 0.