Question

Найдите четвертый член бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами, если ее сумма равна 3/4, а третий член равен 1/9

Answer 1

$b_{n}=b_{1},b_{2}...,b_{n}$
$b_{n}\ \textgreater \ 0$
$b_{4}=b_{1}*q^{3}$
$b_{3}=b_{1}*q^{2}= \frac{1}{9}$ => $q= \frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} }$

$S= \frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4}$ => $q= \frac{3-4b_{1}}{3}$
$\frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} }=\frac{3-4b_{1}}{3}$
$3-4b_{1}\ \textgreater \ 0$
$b_{1}\ \textgreater \ 0$
$b_{1}= \frac{1}{(3-4b_{1})^{2}}$

$0\ \textless \ b_{1}\ \textless \ b_{1}\ \textless \ \frac{3}{4}$ (*)
$b_{1}= \frac{1}{9-24b_{1}+16b^{2}_{1}}$
$16b^{3}_{1}-24b^{2}_{1}+9b-1=0$
$16b^{3}_{1}-24b^{2}_{1}+9b-1=(b-1)(16b^{2}_{1}-8b_{1}+1)=0$
$b_{1}=1$ - посторонний корень (*)
$16b^{2}_{1}-8b_{1}+1=(4b_{1}-1)^{2}=0$
$b_{1}= \frac{1}{4}$

$q= \frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} }= \frac{1}{3 \sqrt{ \frac{1}{4} } }=\frac{2}{3}$
$b_{4}=\frac{1}{4}*(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{4*27}=\frac{2}{27}$